八皇后問題分析和實現

victorfengming發表於2021-03-04

八皇后問題

八皇后問題，是一個古老而著名的問題，是回溯演算法的典型案例。該問題是國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾於1848年提出：在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即：任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。

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八皇后問題演算法思路分析

  1. 第一個皇后先放第一行第一列
  2. 第二個皇后放在第二行第一列、然後判斷是否OK， 如果不OK，繼續放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一個合適
  3. 繼續第三個皇后，還是第一列、第二列……直到第8個皇后也能放在一個不衝突的位置，算是找到了一個正確解
  4. 當得到一個正確解時，在棧回退到上一個棧時，就會開始回溯，即將第一個皇后，放到第一列的所有正確解，全部得到.
  5. 然後回頭繼續第一個皇后放第二列，後面繼續迴圈執行 1,2,3,4的步驟 【示意圖】

說明

理論上應該建立一個二維陣列來表示棋盤，但是實際上可以透過演算法，用一個一維陣列即可解決問題. arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //對應arr 下標 表示第幾行，即第幾個皇后，arr[i] = val , val 表示第i+1個皇后，放在第i+1行的第val+1列

使用到回溯演算法

高斯認為有76種方案。1854年在柏林的象棋雜誌上不同的作者發表了40種不同的解，後來有人用圖論的方法解出92種結果。計算機發明後，有多種計算機語言可以解決此問題

package com.atguigu.recursion;

public class Queen8 {

    // 一共有多少個皇后（此時設定為8皇后在8X8棋盤）
    int max = 8;
    // 該陣列儲存結果，第一個皇后擺在array[0]列，第二個擺在array[1]列
    int[] array = new int[max];
    static int count = 0;

    public static void main(String[] args) {

        Queen8 queen8 = new Queen8();
        queen8.check(0);
        System.out.println("一共有" + count + "種解法");
    }

    /**
     * n代表當前是第幾個皇后 [n 是從 0 開始算的，即0 表示第一個皇后, 同時n也表示第幾行]
     * 即 第1行是第一個皇后(n=0)，第2行是第二個皇后(n=1), 第8行是第8個皇后(n=7)，如果遍歷到第9行(n=8)，說明
     * 皇后全部放置好了, 就相應的得到了一種解法...
     * 然後回溯 ，又將第一個皇后，放置第1行的第2列...
     *
     * @param n 皇后n在array[n]列
     */
    private void check(int n) {
        //終止條件是最後一行已經擺完，
        //由於每擺一步都會校驗是否有衝突，
        //所以只要最後一行擺完，說明已經得到了一個正確解
        if (n == max) {
            print();
            return;
        }
        //將第n個皇后從.第一列開始放值，然後判斷是否和本行本列本斜線有衝突，如果OK，就進入下一行的邏輯
        for (int i = 0; i < max; i++) {
            array[n] = i; //先將第一個皇后放置第一行的第一列 array[0] = 0
            if (judge(n)) {  // 如果 該皇后沒有和其它皇后衝突
                check(n + 1); // 放第二個皇后，因為是遞迴，因此大家可以思考，第二個皇后是從 第二行的第1列開始放
            }
        }
    }

    /**
     * 檢視n皇后是否滿足約束條件(即：檢查皇后n是否會發生衝突)
     * 如果衝突，返回 false , 如果不衝突返回true
     * 0 4 7 5 2 6 1 3
     *
     * @param n
     * @return
     */
    private boolean judge(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //說明: 
            //1. array[i] == array[n] 判斷 是不是在同一列
            //2. Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 判斷是不是在同一條斜線
            //3. 不用判斷是不是在同一行，因為我們每放一個皇后，行是遞增的.
            if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    /**
     * 列印這個滿足條件的八皇后的放置位置
     */
    private void print() {
        count++;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

判斷斜線的時候,直接用 橫座標減去縱座標,若,兩個位置的差值相等,

就是同一個斜線上的

然而,這個上面例子中,存放的方式是:

一維陣列: 陣列的下標代表棋盤的行號,陣列的值代表棋盤的列號

陣列中員孫的個數即為 皇后的 棋子

在記性斜線判斷的時候,計算的是,兩點的橫向差值和縱向差值是否相等,若相等,則,斜率為1,即tan45° 嗯, 就判斷出了是在一個斜線上,皇后能夠互相攻擊,嗯,哦可,秒啊

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秋葉夏風

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