【離散優化】覆蓋問題

覆蓋問題

我們知道設施選址問題有兩類基礎問題，分別是中值問題和覆蓋問題，下面要介紹的就是覆蓋問題。

什麼是覆蓋問題？

覆蓋問題是以所期望的服務範圍滿足大多數或者所有使用者需求為前提，確定設施的位置。覆蓋模型的思想是離服務設施較近的使用者越多，則服務越好。

覆蓋問題的分類

覆蓋問題主要分為兩類：

• 集合覆蓋問題（Location Set Covering Problem，LSCP）
• 最大覆蓋問題（Maximum Covering Location Problem，MCLP）

覆蓋模型常用於哪些場景？

由於 P-中值模型常以總距離或者總時間作為測度指標，使得其並不適用於一些特殊的場景，比如消防中心和救護車等應急設施的區位選址問題，而覆蓋模型則比較適用於這些場景。

如何定義覆蓋？

如果需求點 \(i\) 到備選設施點 \(j\) 的距離或者時間小於臨界值 \(D_c\)，那麼稱需求點 \(i\) 被候選設施點 \(j\) 覆蓋。、

下面介紹兩類覆蓋問題的數學模型表達

集合覆蓋問題 （Location Set Covering Problem，LSCP）

目標函式：

\[\min \sum_{j \in J}x_j \]

約束：

\[\sum_{j \in N_i} x_j \geqslant 1 \quad \forall i \in I \tag{c-1} \]

\[x_j \in \{0, 1\} \quad \forall j \in J \tag{c-2} \]

其中，

• \(N_i = \{j:a_{ij}=1\}\) 是覆蓋需求點 \(i\) 的候選設施點的集合，變數 \(a_{ij}\) 用來判斷需求點 \(i\) 是否被候選設施點 \(j\) 覆蓋，若是，則 \(a_{ij}=1\)，否則 \(a_{ij}=0\)
• 目標函式旨在尋求設施總量最小
• 約束 \(c-1\) 保證每個需求點至少被一個設施服務範圍所覆蓋
• 約束 \(c-2\) 是決策變數的取值範圍

在某些場景中，集合覆蓋問題有以下兩個缺點：

• 為了保證所有需求點均被覆蓋而引入過多的設施，以至於超出預算
• 模型無法區分需求點的需求強度

現實生活中，常常由於預算或者資源的約束，有限的設施不能保證空間中所有需求點都被覆蓋，此時，優先考慮需求強度大的需求點是十分必要的，下面要介紹的最大覆蓋模型就是為了解決這個問題而被提出。

最大覆蓋問題（Maximum Covering Location Problem，MCLP）

目標函式

\[\max \sum_{i \in N_i} \omega_iz_i \]

約束

\[z_i \leqslant \sum_{j \in N_i}x_j \quad \forall i \in I \tag{c-1} \]

\[\sum_{j\in J}x_j = p \tag{c-2} \]

\[x_j \in \{0,1\} \quad \forall j \in J \tag{c-3} \]

\[z_i = \{0, 1\} \quad \forall i \in I \tag{c-4} \]

其中，

• \(\omega_i\) 為需求點 \(i\) 的需求強度

• \(z_i\) 用來判斷需求點 \(i\) 是否被覆蓋，若覆蓋，則為 1，否則為 0

• 目標函式旨在尋求有限設施（\(p\) 個）覆蓋的需求最多

• 約束 \(c-1\) 要求除非在備選設施點中已定位一個設施可以覆蓋需求點 \(i\)，否則需求點 \(i\) 將不被記作被覆蓋

• 約束 \(c-2\) 限制設施的總數為 \(p\)

• 約束 \(c-3, c-4\) 是決策變數的取值範圍

更多種類的選址問題

以上介紹的覆蓋問題的基礎模型框架，然而具體問題一般是較為複雜的設施選址問題，這就需要我們對基礎模型設定不同的條件從而進行擴充套件，比如：

• 用於環境汙染防治的鄰避型設施選址問題
• 用於不同服務等級的層次型設定選址問題
• 用於商業競爭的競爭型設施選址問題
• 選址問題也開始考慮動態、不確定性等因素

總結

總結以上兩類問題，我們可以發現最大覆蓋模型和集合覆蓋模型的主要區別在於對設施數量和需求強度的關注不同，前者一般適用於建設經費充足或者設施成本相同的情況，後者則適用於有設施成本約束的選址決策。

參考文獻

本文內容主要從論文《設施選址問題中的基礎模型與求解方法比較》總結而來。