Codeforces 888D Almost Identity Permutations：錯排公式

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/888/D

題意：

　　給定n,k，問你有多少種1到n的排列，滿足至少有n-k個a[i] == i。

　　(4 <= n <= 1000, 1 <= k <= 4)

 

題解：

　　轉換題意：

　　　　給定n,k，問你有多少種1到n的排列，滿足最多有k個a[i] != i。

　　D(i)表示1到i的排列的錯排方案數。

　　那麼ans = ∑(C(n,i) * D(i)) + 1，其中i∈[2,k]。

　　ps:

　　　　錯排遞推式：D(n) = (n-1) * (D(i-1)+D(i-2))

　　　　錯排通項式：D(n) = n! * ∑(((-1)^i) / i!)，其中i∈[2,n]

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>

using namespace std;

long long n,k;
long long ans=1;

int main()
{
    cin>>n>>k;
    if(k>=2) ans+=n*(n-1)/2;
    if(k>=3) ans+=2*n*(n-1)*(n-2)/6;
    if(k>=4) ans+=9*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24;
    cout<<ans<<endl;
}