全概率公式、貝葉斯公式

全概率公式

全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一複雜事件A的概率求解問題轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題。
內容：如果事件B1、B2、B3…Bi構成一個完備事件組，即它們兩兩互不相容，其和為全集；並且P（Bi)大於0，則對任一事件A有

\[P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bi)P(Bi) \]

可以注意到若事件Bi中發生A的概率為0，則可不考慮Bi，即所取的事件Bi的要求放寬為：

1）兩兩互不相容
2）它們的並能完全包含事件A

貝葉斯公式

貝葉斯定理由英國數學家貝葉斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 發展，用來描述兩個條件概率之間的關係，比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法則，可以立刻匯出：

\[P(AB) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B) \]

如上公式也可變形為：

\[P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B) \]

其中P(A|B)是在B發生的情況下A發生的可能性
可以理解為，當我們知道一件事情的結果時，我們能分析造成該結果的原因的概率。

在貝葉斯法則中，每個名詞都有約定俗成的名稱：
Pr(A)是A的先驗概率或邊緣概率。之所以稱為"先驗"是因為它不考慮任何B方面的因素。
Pr(B)是B的先驗概率或邊緣概率，也作標準化常量（normalized constant）。
Pr(A|B)是已知B發生後A的條件概率，也由於得自B的取值而被稱作A的後驗概率。
Pr(B|A)是已知A發生後B的條件概率，也由於得自A的取值而被稱作B的後驗概率。

例題

肝癌診斷

某地區居民的肝癌發病率為0.0004 ,現用甲胎蛋白法進行普查。醫學研究表明,化驗結是有錯檢的可能的。已知患有肝癌的人其化驗結果99%呈陽性, 而沒患肝癌的人其化驗結果99.9% 呈陰性。現某人的檢查結果呈陽性,問他真的患有肝癌的概率是多少?

答案：一個人化驗結果呈陽性，則他患有肝癌的概率是28.4%。

對其的理解：因為發病率低，所以未患肝癌的人口基數是很大的，在這麼大的人口基數下，即使只有0.01%的概率誤診，誤診人數仍十分可觀，因此在化驗結果呈陽性的人（樣本空間變為檢測陽性）中患有肝癌的人只佔28.4%，由此可見覆檢的重要性。