定義
考慮一個有 \(n\) 個元素的排列，若一個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱為原排列的一個錯排。
\(n\) 個元素的錯排數記為 \(D(n)\)
公式
\(D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))\)
其中 \(D(0)=1,D(1)=0\)
考慮當前放到了第 \(n\) 個元素，那麼這個元素肯定不能放到第 \(n\) 個位置上
也就是說，這個元素可以放到除了第 \(n\) 個位置以外的 \(n-1\) 個位置上
假設第 \(n\) 個元素放到了第 \(i\) 個位置上
那麼原來第 \(i\) 個位置上的元素就必須放到其它的位置上
如果這個元素放到了第 \(n\) 個位置上
就相當於位置 \(n\) 和位置 \(i\) 的元素交換，其它的元素不動，也就是一個 \(n-2\) 規模的錯排問題
如果這個元素放到了除了第 \(n\) 個位置和第 \(i\) 個位置以外的 \(n-2\) 個位置中的一個
那麼不去考慮放在第 \(i\) 個位置的第 \(n\) 個元素
就相當於一個 \(n-1\) 規模的錯排問題
只不過把第 \(i\) 個元素不能放到第 \(i\) 個位置上改為了第 \(i\) 個元素不能放到第 \(n\) 個位置上