[AGC031D]A Sequence of Permutations

Description

對於兩個長度為n排列p,q，定義f(p,q)為一個排列f，滿足fpi=qi
對於一個排列的序列{an}，定義a1=p,a2=q,an=f(an-2,an-1)
求ak
n<=1e5,k<=1e9

Solution

我能說我抽代基礎為0嗎QwQ
考慮兩個置換p，q之間的符合，定義為f=pq，結果為一個置換f，滿足fi=pqi
再定義g=p^-1為p的逆，滿足gpi=i，逆有個性質就是$(pq)^{-1}=q^{-1}p^{-1}$
那麼我們可以知道f(p,q)=qp^-1
考慮把a的前幾項寫出來：
$a_1=p$
$a_2=q$
$a_3=qp^{-1}$
$a_4=qp^{-1}q^{-1}$
$a_5=qp^{-1}q^{-1}pq^{-1}$
$a_6=qp^{-1}q^{-1}ppq^{-1}$
$a_7=qp^{-1}q^{-1}ppp^{-1}qpq^{-1}$
$a_8=qp^{-1}q^{-1}pqp^{-1}qpq^{-1}$
注意這裡a7寫成這樣是為了契合我們找到的規律
設$A=qp^{-1}q^{-1}p$
我們可以發現$a_7=Aa_1A^{-1},a_8=Aa_2A^{-1}$
那麼我們可以歸納出，$\forall i&gt;6,a_i=Aa_{i-6}A^{-1}$
然後我們就只需要求出$A^m$，這東西可以直接把所有輪換找出來然後位移
複雜度O(n)

Code

#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

const int N=1e5+5;

typedef vector<int> vec;

int n,k,c[N];
bool vis[N];
vec a[7],A,p,q;

vec inv(vec a) {
	vec b;b.resize(n);
	fo(i,0,n-1) b[a[i]]=i;
	return b;
}

vec mult(vec a,vec b) {
	vec c;c.resize(n);
	fo(i,0,n-1) c[i]=a[b[i]];
	return c;
}

vec pwr(vec a,int t) {
	vec b;b.resize(n);
	fo(i,0,n-1) vis[i]=0;
	fo(i,0,n-1)
		if (!vis[i]) {
			if (a[i]==i) {b[i]=i;continue;}
			int x=i,m=0;
			do {vis[c[m++]=x]=1;x=a[x];} while (x!=i);
			fo(j,0,m-1) b[c[j]]=c[(j+t)%m];
		}
	return b;
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	p.resize(n);q.resize(n);
	fo(i,0,n-1) scanf("%d",&p[i]),p[i]--;
	fo(i,0,n-1) scanf("%d",&q[i]),q[i]--;
	a[1]=p;a[2]=q;
	if (n<=6) {
		fo(i,3,n) a[i]=mult(a[i-1],inv(a[i-2]));
		fo(i,0,n-1) printf("%d ",a[n][i]+1);
		return 0;
	}
	fo(i,3,6) a[i]=mult(a[i-1],inv(a[i-2]));
	A.resize(n);fo(i,0,n-1) A[i]=i;
	A=mult(A,q);A=mult(A,inv(p));A=mult(A,inv(q));A=mult(A,p);
	A=pwr(A,(k-1)/6);
	vec an=a[(k-1)%6+1];
	an=mult(A,an);an=mult(an,inv(A));
	fo(i,0,n-1) printf("%d ",an[i]+1);
	return 0;
}