CF 1971 F. Circle Perimeter (*1600) 思維 數學

Showball發表於2024-06-23

CF 1971 F. Circle Perimeter (*1600) 思維 數學

題目連結

題意：

找出平面直角座標系中所有到原點距離 \(d\) , 滿足 \(r\le d <r+1\) 的所有整數座標點。

思路：

注意到所有的都是對稱出現的，因此我們只需要找出第一象限的點然後乘 \(4\) 即可。

我們可以列舉從 \(1-r\) 橫座標，然後算出縱座標的範圍即可。對於當前列舉的橫座標 \(x\)。

有 \(r \le \sqrt{x^2+y^2} < r+1\) 。平方一下得： \(r^2 \le x^2+y^2 < (r+1)^2\) 。

移項得： \(r^2-x^2 \le y^2 < (r+1)^2-x^2\) 。開根得： \(\sqrt{r^2-x^2} \le y < \sqrt{(r+1)^2-x^2}\)。

所以有 \(y_{min}=\sqrt{r^2-x^2}\) , \(y_{max}=\sqrt{(r+1)^2-x^2-eps}\)。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ff first
#define ss second
#define pb push_back
#define all(u) u.begin(), u.end()
#define endl '\n'
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 10, M = 105;
const int mod = 1e9 + 7;
const int cases = 1;
const double eps = 0.5;

void Showball(){
   int r;
   cin>>r;
   LL ans=0;
   auto f=[&](LL n){return n*n;};
   for(LL i=1;i<=r;i++){
      LL maxn=floor(sqrt(f(r+1)-f(i)-eps));
      LL minn=ceil(sqrt(f(r)-f(i)));
      ans+=maxn-minn+1;
   }
   cout<<ans*4<<endl;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    int T=1;
    if(cases) cin>>T;
    while(T--)
    Showball();
    return 0;
}

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