一、什麼是二進位制

  在說二進位制之前，我們先回想下平常我們用的最多的十進位制，1，0，50，-100，899等等這些數字我們在熟悉不過了，牽扯到我們的衣食住行方方面面。組成十進位制的數字符號集合為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}共十個元素。十進位制的運算規則為：  1.“滿十進一，借一當十”  2.按位權展開，第一位權為10^0， 第二位位權為10^1 ……以此類推，第N位10^（N-1），這也是就是我們說的位置化數字系統,在數字中符號所佔據的位置決定了其表示的值  例如，十進位制數字698的位置化表示：

  這裡我們看到，位權中的基數跟進位制的符合集合個數有關，十進位制有0~9共十個符號，所以十進位制的位權基數為10，基數的冪從0開始到n-1。   有了十進位制的鋪墊，那麼二進位制理解起來就不會那麼難了。二進位制是計算機儲存程式和資料的標準形式，二進位制的符號集為{0,1}，所以二進位制只能以0、1的組合去表示數字，類比十進位制規則，它的規則則是：   1.滿二進一，借一當二   2.按位權展開，基數為2，第一位權為2^0， 第二位置位權為2^1 ……以此類推，第N位2^（N-1），同樣遵循位置化數字系統規則  例如，數字6的二進位制表示為110：

  十進位制如何轉換二進位制呢？   十進位制轉換為二進位制很簡單，使用十進位制數除以2取餘數，直到商為0，所得的餘數倒序排列。   例如我們將十進位制的數字8轉換為二進位制表示的運算過程：

二、原碼

   儲存到計算機之中的資料都被轉換為了二進位制形式，但是還有問題需要解決：如何儲存數字的符號？    如果不考慮數字的符號，對於n位儲存單元，所能儲存的範圍為[0~2^n-1],例如n=4時，它能表示的範圍就是0 ~ 15。    但我們都知道，數字有正數、負數之分，因此原碼表示法規定了，在n位的儲存單元中，使用最左1個二進位制位表示符號，0表示正，1表示負，其餘位置表示數字的絕對值。    例如n=4的儲存單元，所能儲存的無符號數範圍為[0~2^n-1]，最左位當做符號位置後，可以僅用剩餘3位表示數字的絕對值。

   從上圖我們可以看到n=4位的儲存單元，使用原碼錶示法時，被分為了兩個相等的子範圍即是正整數0000 ~ 0111和負整數1000 ~ 1111。    所以總結起來原碼表示法，n位的儲存單元可儲存數字範圍為-(2^n-1 - 1)至 +(2^n-1 - 1)，並且原碼錶示法中有兩個0，+0 和 -0

三、反碼

   原碼在計算機儲存整數中並不常用，計算機使用二進位制補碼來表示n位儲存單元中的有符號整數。 反碼是由原碼轉換為補碼的中間形式，該運算可以應用到任何整數，無論是正的還是是負的，進行反碼運算時，最左邊符號位保持不變，當此數字為負數時，其絕對值位各位求反；正數反碼為這個數本身    例如n=4位儲存單位中數字3的反碼：

   -3的反碼：

四、補碼

   幾乎所有計算機都使用使用二進位制補碼來表示n位儲存單元中的有符號整數。那麼如何獲得一個數補碼，規則很簡單：    正數的補碼為其本身；    負數的補碼為其反碼在加上1得到的結果；

 例如在4位的儲存單位中，-5的補碼錶示：

例如在n=4位的儲存單元中，還原1 0 1 1所表示的整數：

 所以總結起來，計算機以二進位制補碼儲存正數遵循以下步驟：   ①將整數轉換為n位的二進數   ②如果整數是正數或零，以其原樣儲存，如果是負數，計算機取其補碼。  而從二進位制補碼還原為整數，遵循如下步驟：    ①如果最左位是1，計算機取其補碼。如果是0，不進行任何操作    ②將該整數轉換為十進位制

四、為什麼使用補碼

   計算機採用二進位制補碼錶示的優點在於加法和減法之間沒有區別，當遇到減法運算時，計算機可以簡單的把它轉變為加法，只需要求為第二個數求二進位制的補碼即可。這樣符號位就能參與運算，降低了計算機邏輯電路複雜度。   例如在n=4位儲存單元，計算機計算5-3時，可以按照5+(-3)處理

得到結果0010按照補碼->十進位制整數轉換規則，結果是2   補充：二進位制補碼加法與十進位制加法一樣，列與列相加，滿二進一，如果有進位，就加到下一列，但是最後一列進位要捨棄（圖中的紅色標識的1）。