原碼，反碼，補碼大家都知道，下面通過解析為什麼當初要這樣設計，讓你更透徹的理解它們的原理。
文章參考：
https://blog.csdn.net/afsvsv/article/details/94553228
https://blog.csdn.net/wu_nan_nan/article/details/54633506
https://www.zhihu.com/question/28685048
原文：https://blog.vchar.top/base/1611834985.html
計算方式
原碼：是計算機機器數中最簡單的一種形式，數值位就是真值的絕對值，即二進位制表示的格式；其中最高位是符號位，符號位中0表示正數，1表示負數。
反碼：正數的反碼和原碼一樣；負數的反碼是它原碼除符號位外，其他位按位取反。
補碼：正數的補碼和原碼一樣；負數的補碼等於它反碼+1，或者說是等於它的原碼自低位向高位，尾數的第一個‘1’及其右邊的‘0’保持不變，左邊的各位按位取反，符號位不變。
為什麼這樣要計算呢？
由於計算機的硬體設計決定，其本質都是以二進位制碼來儲存和運算的；根據馮~諾依曼提出的經典計算機體系結構框架。一臺計算機由運算器，控制器，儲存器，輸入和輸出裝置組成。其中運算器，只有加法運算器，沒有減法運算器（據說一開始是有的，後來由於減法器硬體開銷太大，被廢了 ）。
因此在計算機中是沒有減法的，只有加法運算。即減一個數相當於加上一個負數。
所以需要設計一種新的計算規則來實現計算機的加法運算；注意我們需要的是一個新的規則來適配計算機的加法運算，使其最終結果和我們現有的計算規則的結果一樣！！
下面我們以4位的二進位制數為例做設計。
原碼
原碼：是最簡單的機器數表示法。用最高位表示符號位，‘1’表示負號，‘0’表示正號。其他位存放該數的二進位制的絕對值。
下面這個以原碼的規則計算機中儲存的資料
| / | 正數 | / | 負數 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | -0 | 1000 |
| 1 | 0001 | -1 | 1001 |
| 2 | 0010 | -2 | 1010 |
| 3 | 0011 | -3 | 1011 |
| 4 | 0100 | -4 | 1100 |
| 5 | 0101 | -5 | 1101 |
| 6 | 0110 | -6 | 1110 |
| 7 | 0111 | -7 | 1111 |
這種設計方式很簡單，雖然出現了-0和+0，但是還能接受；下面我們開始做運算：
0001+0010=0011 ==>> 1+2=3 沒得問題
0000+1000=1000 ==>> 0+(-0)=-0 可以接受
0001+1001=1010 ==>> 1+(-1)=-2 哦，這個...
這種方式在正數之間進行沒得問題，但是有負數的運算就不行了，看來原碼幹不了這個活啊；於是反碼來了。
反碼
我們知道，在十進位制中一個數和其相反數相加等於0，對應的減法也可定義為一個數加上另一個數的相反數；基於這一點反碼的設計思路出來，那就是定義二進位制的相反數求法。
直接按十進位制的套用明顯不行，那麼讓它的原碼除符號位外，按位取反；由於正數使用原碼進行計算沒得問題，就暫時不動它，只讓其適用於負數。得到如下的結果：
現在再來計算：
0001+1110=1111 ==>> 1+(-1)=-0 現在正確了
注意現在計算機中實際儲存的是反碼了。
1110+1101=1011 ==>> -1+(-2)=--4 哦，這個...
這種方式好像在計算負數+負數的時候不得行啊。
不過我們已經解決了相反數相加的問題了，對於負數我們直接讓其符號位固定為1即可達到正確結果。
0001+1110=1111 ==>> 1+(-1)=-0 這個看著怪彆扭的
這種負0看著怪彆扭的，同時需要在負數+負數的時候還要做個符號位強制位1的操作，太麻煩了，要想個辦法偷懶（平時程式設計中也應當有個偷懶的思維 hhh）; 於是補碼出現了。
補碼
由於正數是沒得問題的，不做修改，所以正數的補碼等於他的原碼；負數的補碼等於反碼+1。（這只是一種算補碼的方式，多數書對於補碼就是這句話）
負數的補碼等於他的原碼自低位向高位，尾數的第一個‘1’及其右邊的‘0’保持不變，左邊的各位按位取反，符號位不變。
想想當年那些計算機學家（高階專業偷懶戶），並不會心血來潮的把反碼+1就定義為補碼。下面來看看其設計原因。
由於使用十進位制的計算方式已經不能滿足二進位制的需求了，因此我們需要跳出來，重新找靈感。
生活中的時鐘有12個刻度，如果時針現在在10點的位置，那麼什麼時候會停止在8點鐘的位置呢？
這個很簡單再過10個小時，或者2個小時前，那麼得到如下公式：
10-2=8=10+10 時間超過12就會重新開始，這種稱為模。
在時鐘運算中，減去一個數，其實就相當於加上另外一個數（這個數與減數相加正好等於12，也稱為同餘數）
通過時鐘的例子可以發現最終轉換後的計算表示式是2個正數相加，而從前面的結論中2個正數進行運算其符號位並不是必須的，那麼現在設計補碼時我們暫時就將符號位去掉。
這也是為什麼正數的符號位是0，負數的符號位是1的原因；因為如果正數的符號位是1的話，由於其符號位被忽略，當其參與運算時就會發生進位的情況，而使用0就不會有這種情況。
- 同餘數
現在就是需要求這個同餘數的問題，根據數學中對同餘數的定義：
兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a，b對於模m同餘。
例如，當m=12時，3跟15是同餘的，因為3mod12=3=15mod12,對於同餘，有如下結論:
a，b是關於m同餘的，當且僅當，二者相差m的整數倍，
a−b=k×m, with k=……−2,−1,0,1,2,……
即，
a=b+k×m, with k=……−2,−1,0,1,2,……
一個數x加a對m取餘，等於x加a的同餘b對m取餘，即，
(x+a) mod m=(x+b) mod m.
由1.易知2.是成立的。
將引數帶入：
3-15=-1*12 === 3=15+（-1）*12
(x+3)%12=(x+15)%12
將上面的表示式在簡化下：
若：a=b+m，則 (x+a) mod m = (x+b) mod m
那麼現在該如何來求這個同餘數呢？也就是找到負數補碼的求法。
若b為一個負數，表示式可以轉為類似如下：
a-b=m ===>> 設c=-b，則：a+c=m
現在要 求a；通過上面的推導，我們在運算時可以減法轉換為加法，相當於將負數轉換為了正數，那麼符合位也就沒有用了；因此我們新設計的補碼就可以不要符合位(因為都是正數的運算了)。
參考時鐘的案例，我們最終其實只關注二進位制位數能夠表示的數(因為多餘的位數也沒地方儲存)，即時鐘刻度的最大值就是m，也就是二進位制位數表達的最大值，例如4位的最大值就是16。
所以求a即計算m-c就是求其二進位制的另一半。而c的另一半就是把二進位制位上的0變1、1變0即取反，它們相加後全是1，而m是其最大值+1,因此還需要加1才行。而這就是補碼的求法。這個計算的方法還可以參考時鐘的情況。下面來實際計算驗證一下：
示例1：
3-5=-2=(3+11)%16
0011(3的補碼) + 1011(-5的補碼，11的原碼) = 1110
1110是一個補碼(此時最高位就是符號位)轉為原碼：1010 即為-2
示例2：
5-3=2=(5+13)%16
0101(5的補碼) + 1101(-3的補碼，13的原碼) = 1 0010
由於總共只有4位，產生的進位會被丟掉，因此最終的補碼為 0010 轉為原碼：0010即為2
示例3：
0001+1111=1 0000 ==>> 1+(-1)=0 這樣之前的-0問題也解決了
最終使用補碼滿足了我們的要求，因此在計算機中實際儲存的是補碼，進行操作的時候也是通過補碼來進行操作。
