講講圖靈對計算機的貢獻
圖靈機發明的背景
阿蘭·馬蒂森·圖靈 （Alan Mathison Turing）於 1921 年出生在倫敦， 從小就表現出驚人數學和科學能力。
艾倫·麥席森·圖靈（Alan Mathison Turing），1912-1954，英國數學家、計算機學家、邏輯學家、密碼學家、哲學家、理論生物學家。（圖片來自維基百科）
他對電腦科學的建樹始於 1935 年，當時他是劍橋國王學院的碩士生，他開始解決德國數學家 大衛·希爾伯特提出的問題： Entscheidungsproblem （德語），即“可判定性問題”: 是否存在一種演算法，輸入正式邏輯語句，輸出準確的"是"或"否"答案？
如果這樣的演算法存在， 可以回答比如 "是否有一個數大於所有數？" （雖然我們知道答案：沒有）。但有很多其他非常難以解決的數學問題，我們想知道答案，因為如果我們知道是沒有解決方法的，就不用花時間去嘗試解決了。
美國數學家阿隆佐·丘奇， 於 1935 年首先提出解決方法，開發了一個叫“Lambda 運算元”的數學表達系統，證明了這樣的演算法不存在。雖然“Lambda 運算元”能表示任何計算，但它使用的數學技巧難以理解和使用。
同時在大西洋另一邊，阿蘭·圖靈 想出了自己的辦法來解決"可判定性問題"，提出了一種假想的計算機，現在叫圖靈機（Turing Machines），圖靈機提供了簡單又強大的數學計算模型。
雖然用的數學不一樣，但圖靈機的計算能力和 Lambda 運算元一樣，同時因為圖靈機更簡單，所以在新興的計算機領域更受歡迎。
什麼是圖靈機
圖靈機是圖靈受打字機的啟發而假想出來的一臺理論計算裝置。假設我們有
- 無限長的紙帶，紙帶可以儲存符號
- 一個狀態變數，儲存當前狀態
- 一個讀寫頭，可以讀取和寫入 紙帶上的符號。
- 一組規則，描述機器做什麼。規則是根據當前狀態 + 讀寫頭看到的符號，決定機器做什麼，結果可能是在紙帶寫入一個符號，或改變狀態，或把讀寫頭移動一格，或執行這些動作的組合。
為了更好理解，我們舉一個例子：讓圖靈機讀一個以零結尾的字串，並計算 1 的出現次數是不是偶數。如果是，在紙帶上寫一個 1；如果不是，在紙帶上寫一個 0。
首先要定義“圖靈機”的規則：
- 機器的初始狀態：由於還沒開始計算，當前的 1 的出現次數是 0，是偶數
- 如果當前狀態是"偶數", 當前符號是 1，那麼把狀態更新為"奇數"，把讀寫頭向右移動
- 如果當前狀態是"奇數", 當前符號是 1，那麼把狀態更新為"偶數"，把讀寫頭向右移動
- 如果當前狀態為偶數，當前符號是 0，意味著到了字串結尾，那麼在紙帶上寫一個 1，並且把狀態改成 停機(halt)，狀態改為"停機" 是因為圖靈機已完成計算
- 如果當前狀態為奇數，當前符號是 0，意味著到了字串結尾，那麼在紙帶上寫一個 0，並且把狀態改成 停機(halt)，狀態改為"停機" 是因為圖靈機已完成計算
定義好了起始狀態 + 規則，就像寫好了程式，可以開始輸入了。假設把"1 1 0"放在紙帶上，有兩個 1，是偶數。注意，規則只讓讀寫頭向右移動，其他部分無關緊要，為了簡單所以留空。
"圖靈機"準備好了，開始！機器起始狀態為"偶數"，看到的第一個數是 1，符合最上面那條規則，所以執行對應的步驟，把狀態更新到"奇數"， 讀寫頭向右移動一格：
然後又看到 1, 但機器狀態是"奇數"，所以執行第三條規則，使機器狀態變回"偶數"，讀寫頭向右移動一格：
最後看到 0，並且機器狀態是 偶數，所以執行第二條規則，在紙帶上寫 1，表示"真" 的確有偶數個 1，然後機器停機。
這就是圖靈機的原理，很簡單對吧？你可能覺得“有什麼大不了的”？
圖靈證明了：這個簡單假想機器，如果有足夠時間和記憶體，可以執行任何計算。它是一臺通用計算機，剛才的程式就是個簡單例子，只要有足夠的規則，狀態和紙帶可以創造任何東西，瀏覽器，魔獸世界，任何東西！當然這樣做效率很低，但理論上可行，所以圖靈機是很強大的計算模型。
事實上，就可計算和不可計算而言，沒有計算機比圖靈機更強大，和圖靈機一樣強大的，叫 "圖靈完備"。每個現代計算系統 比如膝上型電腦，智慧手機，甚至微波爐和恆溫器內部的小電腦，都是"圖靈完備"的。
為了回答可判定性問題，他把圖靈機用於一個有趣計算問題："停機問題“。
停機問題
在試想一下，在有些情況下，一臺圖靈機如果長時間沒有輸出結果，那麼它很可能陷入了死迴圈或永無止境的計算中。這是我們不願看到的，因為機器可能執行 1 分鐘後停機，也可能執行 10 天半個月甚至幾十年才停機，亦或者永遠也不會停機，這個很難靠人為判斷。
說人話：如果一個數學問題是沒有解的，但花了 10 天半個月甚至幾十年才發現是沒有解決辦法，或者永遠都沒有解決辦法，那麼就白白花費了很多時間。
假設我們構建出一臺圖靈機 H，它接收其他圖靈機及其輸入資訊作為輸入，並能夠判定其是否會停機，就解決了上面的煩惱——構建這樣的機器難度雖大，但理論上是可行的。
這就是著名的停機問題（halting problem）。
令 H 表現如下圖所示，如果其判定物件會停機則輸出 1，反之輸出 0。
圖靈機H執行流程
我們再構建一臺圖靈機 G，其執行流程如下圖所示。如果 H 輸出 1，說明 G 會停機，但事實上它將陷入迴圈；如果 H 輸出 0，說明 G 不會停機，但事實上它將停機。
圖靈機G執行流程
因此，不存在一臺圖靈機，可以判定任意圖靈機是否會停機。
聽起來可能有點繞，其實可以理解為，G 就是故意針對圖靈機 H 的。你認為我是不永久的，我就一直永久；如果你認為我是永久的，我就退出；也就是說，你是無法判斷我是否會停機的。這說明了不存在這樣的圖靈機，能夠判斷停機問題。
更多可以參考如下部落格：
如何通俗地解釋停機問題（Halting Problem）？https://www.zhihu.com/question/20081359/answer/22043224
停機問題、Chaitin 常數與萬能證明方法：http://www.matrix67.com/blog/archives/901
深遠影響
圖靈的工作參透了數學和計算機的本質關係——計算機是為解決數學問題而誕生的，卻又基於數學，因而數學自身的極限也便框定了計算機的能力範圍。
圖靈雖然證明了沒有任何機器可以解決所有數學問題，卻也證明了機器可以完成所有人類能完成的計算工作，從如今的應用看來，後一個結論的意義重大得多。
如今的所有通用計算機都是圖靈機的一種實現，兩者的能力是等價的。當一個計算系統可以模擬任意圖靈機（或者說通用圖靈機）時，我們稱其是圖靈完備的（Turing complete）；當一個圖靈完備的系統可以被圖靈機模擬時，我們稱其是圖靈等效的（Turing equivalent）。
圖靈完備和圖靈等效成為衡量計算機和程式語言能力的基礎指標，如今幾乎所有的程式語言也都是圖靈完備的，這意味著它們可以相互取代，一款語言能寫出的程式用另一款也照樣可以實現。