上一篇講到最早的計算機是什麼樣的，有人可能會不服氣，我們們中國的算盤才應該是計算機的祖宗才是啊。算盤應該算得上是一種計算工具，可以類比到現代計算機的儲存，真正做運算的實際上還是人腦。最早的計算機實際上只能做一些簡單的加減乘除運算，只能叫計算器，跟現在的計算機（俗稱電腦）還差的很遠。但是，今天說到的差分機比前面講到的就更接近現代計算機了。
差分機的誕生
從17世紀到20世紀，計算器從手搖演變成了電動。但是整整三百年期間，計算器仍只能做最簡單的四則運算，需要人力不斷的記錄計算結果，然後做下一步的運算。這種繁瑣的人工操作能不能也交給機器來完成呢？第一個用實際行動驗證這一想法的，是來自英國的曠世奇才——查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage）。
差分機的設想，最早由一位名為約翰·赫爾弗裡奇·馮·米勒（Johann Helfrich von Müller）的德國工程師在1784年提出，但他沒有得到資金支援。
18世紀末，法蘭西發起了一項巨集大的計算工程——人工編制《數學用表》，這在沒有先進計算工具的當時，是件極其艱鉅的工作。法國數學界調集大批數學家，組成了人工手算的流水線，算得天昏地暗，才完成了17卷大部頭書稿。即便如此，計算出的數學用表仍然存在大量錯誤。
巴貝奇在他的自傳《一個哲學家的生命歷程》裡，寫到了大約發生在1812年的一件事：
有一天晚上，我坐在劍橋大學的分析學會辦公室裡，神志恍惚地低頭看著面前開啟的一張對數表。一位會員走進屋來，瞧見我的樣子，忙喊道："喂！你夢見什麼啦？" 我指著對數表回答說："我正在考慮這些表也許能用機器來計算！"
巴貝奇耗費了整整十年光陰，於1822年完成了第一臺差分機，它可以處理3個不同的5位數，計算精度達到6位小數，當即就演算出好幾種函式表。第二臺由英國政府出資的運算精度為20位的大型差分機差分機一號（Difference Engine No.1）由於當時的製造工藝落後等問題最終未能完成。1849年巴貝奇提出支援31位、7次差分的差分機2號（Difference Engine No.2）方案，卻在有生之年只實現了很小一部分。
為什麼叫差分機
差分機這個名字，源自其所使用的演算法，是帕斯卡在1654年提出的差分思想：n次多項式的n次數值差分為同一常數。
我們來看一個一次多項式的例子，其中 Δƒ(x) = ƒ(x+1) - ƒ(x)
我們再來看一個二次多項式的例子，其中 Δ1ƒ(x) = ƒ(x+1) - ƒ(x)，Δkƒ(x) = Δk-1ƒ(x+1) - Δk-1ƒ(x)
具體證明過程我也沒能找到，大學學的數學都還給老師了。。。有知道證明過程的可以在評論區告訴我。
利用差分的方法，可以輕易把複雜高階多項式的值通過重複進行加減法來計算。下面以一個二次多項式為例：
首先人工計算出 ƒ(1)、 Δ1ƒ(1)和 Δ2ƒ(1)的值，根據定義，有：
ƒ(2) = ƒ(1) + Δ1ƒ(1) , Δ1ƒ(2) = Δ1ƒ(1) + Δ2ƒ(1) , Δ2ƒ(2) = Δ1ƒ(2)
ƒ(3) = ƒ(2) + Δ1ƒ(2) , Δ1ƒ(3) = Δ1ƒ(2) + Δ2ƒ(2) , Δ2ƒ(3) = Δ1ƒ(2)
ƒ(4) = ƒ(3) + Δ1ƒ(3) , Δ1ƒ(4) = Δ1ƒ(3) + Δ2ƒ(3) , Δ2ƒ(4) = Δ1ƒ(3)
...
以此類推，可以不斷地計算出後面的ƒ(x)的值。同理，更高階的多項式也可以通過類似的方式求得：
差分機是怎麼工作的
要使用差分法來計算多項式，那麼機器必須能夠完成以下功能：
- 輸入並儲存ƒ(1)、Δ1ƒ(1)、Δ2ƒ(1)、Δ3ƒ(1) ...
- 計算 ƒ(k) + Δ1ƒ(k)、Δ1ƒ(k) + Δ2ƒ(k)、Δ2ƒ(k) + Δ3ƒ(k) 並儲存和輸出結果
- k = k+1 , 重複第二步
儲存單元
差分機通過一系列同軸齒輪來儲存數字，每個齒輪可以儲存10個數，最高可以儲存31位的十進位制數。
差分機最多可以儲存8個數，最高能計算7次方的多項式
計算
並行化演算法
跟早期的計算器類似，差分機也是通過齒輪的轉動進行加減法。巴貝奇先把序列的計算流程並行化。未優化的差分法每次運算只能計算一次加法，對於7階計算需要運算7步才能得到結果
對於機械設計而言，序列控制遠比並行控制成本更高，因為下一個運算必須要等待上一個運算結束，巴貝奇通過並行化將7步簡化成了2步：
首先，簡化後的步驟需要人工計算更多的數字，這對於提升的效能而言顯然是值得的，下面以7階計算為例：
第一步，將第1個數和第2個數、第3個數和第4個數、第5個數和第6個數、第7個數和第8個數相加：
第一步計算結束後更新第1、3、5、7個數：
第二步，將第2個數和第3個數、第4個數和第5個數、第6個數和第7個數相加：
第二步結束後，更新第2、4、6個數：
繼續上述兩個步驟，就可以源源不斷地計算出ƒ(x)的值。
整個流程看起來是這樣的，值得注意的是，現在這幾個儲存裡面的x值並不相同，但是這並不影響計算。
計算和進位
每個齒輪都有4組從0到9的數字，每個0跟9的交界處會有一個突起用來提醒進位
進位裝置
進位這裡不進行細述，有興趣的可以通過引用裡的連結瞭解更多。
兩個齒輪可以簡單完成加法操作，只需要先分開兩個齒輪，把第二個齒輪轉到到需要加的值，合攏兩個齒輪，順時針轉動第二個齒輪轉到0，第一個齒輪就會自動加上第二個齒輪的數字。
但是這個方法有個問題，轉動後第二個齒輪的數字就已經丟失了，所以巴貝奇在中間加了第三個扇形輪：
這個扇形輪有三種模式：咬合兩個齒輪、只咬合第二個齒輪和兩個齒輪都不咬合。在進行累加時，扇形輪與兩個齒輪咬合，在轉動第二個齒輪的時候會帶動第一個齒輪進行累加；完成運算後，扇形輪抬起只與第二個齒輪咬合，帶動第二個齒輪恢復到原來的數字。
因為篇幅有限，本文先講到這裡，感興趣的可以通過後面的連結來了解更多。最後，大家可以通過這個視訊來感受一下差分機的精妙：https://www.bilibili.com/video/BV1MW41177yh/?spm_id_from=autoNext。在下一篇，我們將會進入電氣時代，瞭解下真正的現代電子計算機。
引用：
https://xueqiu.com/3993902801/81799392
https://zhuanlan.zhihu.com/p/107462919
https://www.bilibili.com/video/BV1rt4y1S77M?spm_id_from=333.999.0.0
https://www.bilibili.com/video/BV1mt411C7gw?p=1
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%A9%9F