CF1981D題解

sunzz3183發表於2024-05-31

CF1981D題解

前言

標籤：篩法，尤拉回路。

賽後過的，構造一眼秒，尤拉圖寫錯了，多少有點抽象。

題意

構造一個長度為 \(n\) 的序列 \(a\)，需要滿足：

  • \(\forall 1 \le i \le n\)，\(1 \le a_i \le 3\times10^5\)。

  • \(\forall 1 \le i<j<n\)，\(a_i\times a_{i+1}\ne a_j\times a_{j+1}\)。

分析

發現任意兩個質數的乘積是唯一的，而 \(\max_{1\le i\le 3\times 10^5}\{d(i)^2\} \le 10^6\)。

所以顯然只需要選 \(m\) 個質數。

而現在就是要構造一個長度為 \(n\) 的序列使得每一對無序數對 \(\{a_i,a_{i+1}\}\) 都不同。

因為構造方式是從一個數開始，走到另一個數，和路徑是一樣的，所以考慮構造一個無向完全圖（帶自環），然後找最長路徑。

當 \(m\) 是奇數時，每個點的度一定是偶數，所以直接跑尤拉回路，序列長度為 \(\frac{m\times (m+1)}{2}+1\)。

當 \(m\) 是偶數，每個點的度一定是奇數，我們可以刪除所有形如 \(\{3,4\},\{5,6\},\dots,\{n-1,n\}\) 的邊，這樣就剩下了兩個奇點，直接跑尤拉回路，序列長度為 \(\frac{m\times (m+1)}{2}-\frac{m-2}{2}+1\)。

直接列舉求 \(m\) 即可。

程式碼

建圖用了 bitset。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    char ch=getchar();int x=0;bool f=1;
    while(ch<'0'||'9'<ch){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
    while('0'<=ch&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}
const int N=3e5+2;
int cnt,prime[N];
bool is_p[N];
void init(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!is_p[i])prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
            is_p[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j]))break;
        }
    }
}
const int M=1500;
int n,m;
bitset<M>vis[M];
stack<int>st;
void dfs(int u){
    if(vis[u][u])vis[u][u]=0,dfs(u);
    for(int i=vis[u]._Find_first();i<=m;i=vis[u]._Find_first())
        if(vis[u][i])
            vis[u][i]=vis[i][u]=0,dfs(i);
    st.push(prime[u]);//注意要最後加點，不然跑出來的不是尤拉回路，筆者栽在這裡了
}
void Main(){
    n=read();
    if(n==1)return puts("1"),void();
    for(m=1;(m*(m+1)/2)-((m&1)?0ll:((m>>1)-1))<n-1;m++);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        vis[i].set();
    if(!(m&1))
        for(int i=3;i<=m;i+=2)vis[i][i+1]=vis[i+1][i]=0;
    dfs(1);
    while(!st.empty()&&n)printf("%d ",st.top()),st.pop(),n--;
    while(!st.empty())st.pop();
    puts("");
    return;
}
signed main(){
    init(13000);
    int T=read();
    while(T--)Main();
    return 0;
}

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