問題的描述

我們先根據一個貪心演算法的經典應用例項，然後給出貪心演算法的實現步驟與關鍵環節，最後給出C++程式碼求解0-1揹包問題。

揹包問題（Knapsack Problem）：有N

N

件物品有一個承重（也可受限於體積）為C

C

的揹包，每件物品具有二維屬性，分別是重量屬性wi,i=1,…,N

w_i,\quad i=1,\ldots,N

，和價值屬性pi,i=1,…,N

p_i,\quad i=1,\ldots,N

，求解將哪幾件物品裝入揹包可使這些物品在重量不超過C

C

的情況下價值總和最大。揹包問題給我們提供了一個模型，由此我們可以求解貨箱裝載問題。這一問題隱含了一個條件，每個物品只有一件，也就是要麼不選取（UNCHOSEN，0），要麼選取（CHOSEN，1），因此又稱為0-1揹包問題。

貪心演算法的基本設計思想有以下三個步驟：

1. 建立對問題精確描述的數學模型，包括定義最優解的模型。

   顯然本題，就是重量不超過C

   C
   條件下的價值最大

1. 將問題分解為一系列子問題，同時定義子問題的最優解結構

   貪心演算法的關鍵環節，將問題分解為後續的一個一個的子問題。本例而言，就是在（根據一定的標準）選定一個物品（重量為wi

   w_i
   ）的情況下，在餘下的物品中選擇下一個物品此時的問題的條件是重量不超過C′:=C−wi
   C':=C-w_i
   。
   
   maxW(n):=wi+W(n−1)s.t.∑j∖iwj≤C−wi
   \max W(n):=w_i+W(n-1)\\ s.t. \sum_{j\setminus i}w_j\leq C-w_i

2. 引用相應的貪心原則（比如重量最輕，價值最高，價效比最高）確定每個子問題的區域性最優解（上文所說的Ci

   C_i
   ），並根據最優解的模型，用子問題的區域性最優解堆疊出全域性最優解。

下面我們來看這一具體的例項，

• C=150
  C=150
  , 最大承重
• wi=[35,30,60,50,40,10,25]
  w_i=[35, 30, 60, 50, 40, 10, 25]
  ，每個物品的重量
• pi=[10,40,30,50,35,40,10]
  p_i=[10, 40, 30, 50, 35, 40, 10]
  ，每個物品的價格

關鍵在於子問題的定義，本例，我麼可以將子問題定義為，在選取某一物品（wi

）放入揹包以後，在揹包容量還有C′:=C−wi的情況下，選擇下一個物品放入揹包。

如何選擇每一次子問題的所需確定的物品呢？這正是貪心策略的選擇問題了。對於本題，常見的貪婪策略有三種，

• 根據物品價值選擇，每次都選價值最高的物品

  [4, 2, 6, 5]-> 130（總重量），165（價值）

• 根據物品重量選擇，每次都選最輕的

  [6, 7, 2, 1, 5] -> 140（總重量），155（總價格）

• 根據價值密度（也即價效比），每次都選價效比最高的

  價效比：[0.286, 1.333, .5, 1., .0875, 4., 1.2]
  [6, 2, 7, 4, 1] -> 150（總重量），170（總價格）

演算法的實現

演算法流程如下：

• 元素資料結構的定義

• 問題資料結構的定義

• 迴圈子問題，直到全部子問題都得以解決，退出迴圈

下面給出其實現：

enum STATUS
{
    UNCHOSEN,
    CHOSEN,
    NOTALLOWED
};

// 物品的資料結構定義
typedef struct tagObject
{
    int weight;
    int price;
                    // double density; 
                    // 這裡也可增加這樣一個冗餘性定義，用於第三種貪心規則
    STATUS status;
}OBJ;

// 問題的資料結構定義
typedef struct tagKnapsackProblem
{
    std::vector<OBJ> objs;
    int total;
    // std::vector<int> selected;    // 貪心規則下得到的物品
    // int weights;                  // 貪心規則下得到的總的物品重量
    // int prices;                   // 貪心規則下得到的總的物品價格
}KnapsackProblem;

// 定義三種貪心演算法的函式指標
typedef int(*SELECT_POLICY)(std::vector<OBJ>&);

void greedyAlgo(KnapsackProblem* problem, SELECT_POLICY spFunc)
{
    int idx;
    int cur = 0;
    while ((idx = spFunc(problem->objs)) != -1)
    {
        // idx標識可選的物品
        if (problem->objs[idx].weight <= problem->total - cur)
        {
            std::cout << idx + 1 << std::endl;
                    // 列印每一個子問題的最優選擇
            problem->objs[idx].status = CHOSEN;
            cur += problem->objs[idx].weight;
        }
        else
        {
            problem->objs[idx].status = NOTALLOWED;
        }
    }
}

int chooseFunc1(std::vector<OBJ>& objs)
{
    int idx = -1;
    int tmp = 0;
    for (size_t i = 0; i < objs.size(); ++i)
    {
        if (objs[i].status == UNCHOSEN && tmp < objs[i].price)
        {
            tmp = objs[i].price;
            idx = i;
        }
    }
    return idx;
}

int chooseFunc2(std::vector<OBJ>& objs)
{
    int idx = -1;
    int tmp = 1000000;
    for(size_t i = 0; i < objs.size(); ++i)
    {
        if (objs[i].status == UNCHOSEN && tmp > objs[i].weight)
        {
            tmp = objs[i].weight;
            idx = i;
        }
    }
    return idx;
}

int chooseFunc3(std::vector<OBJ>& objs)
{
    int idx = -1;
    double tmp = 0.;
    for(size_t i = 0; i < objs.size(); ++i)
    {
        if (objs[i].status == UNCHOSEN && 
                tmp < static_cast<double>(objs[i].price)/objs[i].weight)
        {
            tmp = static_cast<double>(objs[i].price)/objs[i].weight;
            idx = i;
        }

    }
    return idx;
}

// 客戶端程式碼
int main(int, char**)
{
    std::vector<OBJ> objs{{35, 10, UNCHOSEN}, {30, 40, UNCHOSEN}, {60, 30, UNCHOSEN}, {50, 50, UNCHOSEN},   
    {40, 35, UNCHOSEN}, {10, 40, UNCHOSEN}, {25, 10, UNCHOSEN}};
    KnapsackProblem problem = {objs, 150};
    // greedyAlgo(&problem, chooseFunc1);
    // greedyAlgo(&problem, chooseFunc2);
    greedyAlgo(&problem, chooseFunc3);           // 三種貪心規則分別執行。
    return 0;
}

0-1找零問題

有了上述0-1（to be or not to be, 只能二選一）揹包問題提供的模型，我們便可比較輕易的仿製上述設計與程式設計，解決0-1找零錢問題：

貨幣mi=[25,10,5,1]

m_i=[25, 10, 5, 1]

分四種，需找給使用者41分錢。

enum STATUS
{
    CHOSEN,
    UNCHOSEN,
    NOTALLOWED
};
typedef struct tagObject
{
    int value;
    STATUS status;
}OBJ;
typedef struct tagProblem
{
    std::vector<OBJ> objs;
    int total;
}Problem;

int findMax(std::vector<OBJ>& objs)
{
    int idx = -1;
    int tmp = 0;
    for (size_t i = 0; i < objs.size(); ++i)
    {
        if (objs[i].status == UNCHOSEN && tmp < objs[i].value)
        {
            idx = i;
            tmp = objs[i].value;
        }
    }
    return idx;
}

void greedyAlgo(Problem* prob)
{
    int idx;
    int cur = 0;
    while ((idx = findMax(prob->objs))!=-1)
    {
        if (prob->objs[idx].value <= prob->total - cur)
        {
            std::cout << idx + 1 << std::endl;
            prob->objs[idx].status = CHOSEN;
            cur += prob->objs[idx].value;
        }
        else
        {
            prob->objs[idx].status = NOTALLOWED;
        }
    }
}

int main(int, char**)
{
    std::vector<OBJ> objs {{25, UNCHOSEN}, {10, UNCHOSEN}, {5, UNCHOSEN}, {1, UNCHOSEN}};
    Problem prob = {objs, 41};
    greedyAlgo(&prob);
    return 0;
}