01揹包問題

小程xy發表於2024-05-08

有 N 件物品和一個容量是 V 的揹包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。

接下來有 N 行，每行兩個整數 vi,wi，用空格隔開，分別表示第 i 件物品的體積和價值。

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

資料範圍

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

輸入樣例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

輸出樣例：

8

題解:

每個物品都有兩種情況, 選或者不選, 所以要從 2^n 中方案中找到最大值

f[i][j] 表示的是 只考慮前i個商品中, 體積不超過j的 最大價值
集合: 只考慮前i個商品中, 體積不超過j的價值的所有方案
屬性: 最大值

狀態計算:
對於每個f[i][j]都包含兩個狀態

  1. 不選第 i 個商品的最大價值 ---> f[i - 1][j]
  2. 選第 i 個商品的最大價值 ---> f[i - 1][j - v[i]] + w[i]

對這兩個表示式 求一個max就是f[i][j].

f[n][m]就是答案

ac程式碼 + 樣例圖解模擬 (橫著的是 j, 豎著的是 i)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        } 
   
// 為什麼當j>=v[i]的時候就可以裝第i個物品了呢，j的意思是總體積不超過j，如果只是總體積大於v[i],但是揹包剩餘的體積小於v[i],肯定裝不下v[i]啊
// 可能有同學有上面的疑惑, 這裡解釋一下, f[i][j]的狀態計算的第二個 "選第 i 個商品的最大價值", 是隻考慮存在 第 i 個商品, i前面的商品是否存在不考慮
// 比如下圖紫色字型的位置。 如果 這裡的判斷條件是 揹包剩餘的體積不小於v[i], 那麼 圖中紫色數字應該是2, 因為 v[1] = 1, v[2] = 2, j = 2, f[1][2]的剩餘體積是1, 剩餘體積 < v[2] = 2, 不進入if分支。 
// 但如果判斷條件是(j >= v[i]) 在j==2的時候會進入if分支, 此時表示只選第二個商品, 不選第一個商品,  f[2][2] = 4, 顯然, f[2][2] = 4才是對的

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

覺得寫的不錯的話, 點個贊吧~

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