一窺圖靈的祕密——matrix67評《圖靈的祕密》

【本文作者簡介】顧森，網名matrix67。知名數學專欄作者和科普作家。

一位超越了學科和時代的科學家，有著怎樣的祕密？

在數理科學當中，有四個讓我感到非常激動的話題。

第一個話題是對無窮的研究。從古希臘時代開始，人們就被無窮所困擾。與無窮相關的悖論層出不窮，但卻很少有人系統地去解決它們。德國數學家康托爾，集合論的創始人，第一個正視無窮的人。他成功地在自然數與有理數之間建立了一一對應的關係，從而說明了自然數和有理數一樣多；他又巧妙地證明了在自然數與實數之間不可能建立一一對應的關係，從而說明了實數比自然數多得多。注意到這意味著什麼：自然數也有無窮多個，實數也有無窮多個，但後者是一個比前者更大的無窮。無窮也有大小之分，這個不可思議的結論至今仍然震撼著每一個初學集合論的人。

第二個話題是哥德爾不完備定理。1931年，數學家庫爾特·哥德爾證明了兩個震撼了整個數學界的定理。首先，對於任何一個滿足一致性的（不會自相矛盾的）數學系統，只要它強大到足以表達基本的算術命題，那麼一定存在一個正確的但在這個系統裡不能被證明的命題。其次，這樣的數學系統不能證明它自己的一致性。哥德爾不完備定理的意義是非常深刻的：你不能用系統內的方法去研究系統本身。為了研究這個系統，你必須要站到系統之外去才行。

第三個話題是腦科學。科學家們正在努力研究人腦的工作機理，並且取得了一個又一個里程碑式的突破。然而，每次聯想到人類是在用自己的大腦來理解自己的大腦，這種遞迴總會讓我產生一種莫名其妙的不安。在我看來，完全理解自己的大腦是根本不可能做到的，其原因與哥德爾不完備定理頗有些類似。如果我們果真有那麼聰明的話，我們的大腦一定也會複雜到超出我們的理解範圍。什麼是智慧？什麼是自我意識？什麼是“我”？這些問題似乎永遠也不會有一個完美的答案。

最後一個話題是宇宙的規律。牛頓系統地總結了物體運動規律後，人類豁然開朗，原來世界萬事萬物都是由“力”來支配的，扔出一個東西后，這個東西將以怎樣的路線做怎樣的運動，會撞擊到哪些其他的物體，它們分別又會受到怎樣的影響，這都是可以算出來的。這便是所謂的機械唯物主義：我們的世界是一個簡單的、確定的、線性的、無生的世界。1814年，法國數學家拉普拉斯給出一個更加漂亮的詮釋：如果有一個妖精，它知道宇宙某個時刻所有基本粒子的位置和動量，那麼它就能夠根據物理規律，計算出今後每一時刻整個宇宙的狀態，從而預測未來。一個發人深思的哲學問題由此誕生：既然未來已經是註定的了，那麼人還有自由意志嗎？

大家很容易看到，這四個話題並不是獨立的，它們互相關聯，交織在一起，共同組成了一個更復雜、更巨集大的話題。我一直希望能夠找到一條貫穿這些話題的線索，對遞迴、無窮、智慧、複雜度、可計算性、數理邏輯、公理化體系、連續統假設做一輪細緻而深入的探討。

圖靈機就是這樣的一條線索。20世紀初，大數學家希爾伯特開創性地提出了這麼一個問題：是否存在一種通用的規則，它能判定任意一個給定的數學命題的真假？或許大家相信，這種通用的規則是不存在的。為了證明這一點，真正的難題是將問題形式化：什麼叫做“一種通用的規則”？在1936年的一篇論文中，英國數學家阿蘭·圖靈設想了一種抽象的機器，任意輸入一組符合規範的指令後，它都會自動地開始運轉。這就是後來人們所說的圖靈機。輸入恰當的指令集後，機器可以實現對應的功能，比如計算根號2、計算圓周率、計算各種複雜的函式值等等。所有指令都只有一種固定的格式，非常簡陋，非常受限，但難以想象這些指令組合起來，竟然能夠表達如此複雜的計算規則。事實上，圖靈曾經把這種機器和人腦作類比，說明了這種機器可以表達一切的“規則”，等價於人們通常所說的“可計算性”。然而，這種機器也有它的侷限性：我們無法為這種機器編寫一套指令，使得它能夠根據其他任意一臺機器的指令，不模擬那臺機器的實際執行過程，直接預測出那臺機器的執行結果。圖靈機也陷入了類似於不完備定理的圈子當中。圖靈嚴格地證明了這一點，並以此為基礎，說明了希爾伯特暢想的通用規則是不存在的。

然而，這種機器的意義絕不僅僅是解決了一個數學難題那麼簡單，它是人類思維的形式化模型。或許一個人的計算、語言甚至學習能力，完全等價於圖靈機，只不過這個圖靈機的指令集異常龐大。在1950年的一篇論文中，圖靈提出了著名的“圖靈測試”，正式把人和機器放在了同一高度。至此，圖靈機成為了研究人類意識的一大工具。圖靈機甚至是描述萬事萬物的一種通用的模式。假如我們的宇宙是機械的，是確定性的，那麼圖靈機將會成為宇宙終極規律的描述工具。由圖靈機所帶來的很多判定性結論，將會同樣適用於整個宇宙。

不過，深入理解圖靈的工作並不容易。首先，這需要對當時的歷史背景有一個全面的認識，而圖靈機所涉及的領域非常複雜，一切的起因甚至可以追溯到古希臘數學家丟番圖的身上。其次，圖靈的論文原文也充斥著不少細節上的錯誤，閱讀時需要對照後人的諸多補充說明。2008年，我們終於迎來了美國作家Charles Petzold帶給我們的禮物，一本解讀圖靈的書——《The Annotated Turing》。中文版譯作《圖靈的祕密》，雖字面上不太貼切，但是意境神似。

為了完整地描繪出圖靈機的背景，作者從古希臘時代的丟番圖開始，講到了費馬，講到了康托爾，再講到了圖靈那個時代的數學潮流，以及希爾伯特、哥德爾、邱奇等人的工作。對圖靈論文原文的解讀部分則採用了類似於給古書作注的方法：給出圖靈的一小段原文，然後插入必要的校改、解釋、圖表和例子，然後再一段原文，然後再一段註解。在全書的最後一部分，作者寫到了“圖靈機為何成為人們理解計算機、人類意識和宇宙本身的必要工具”，深入探討了剛才我們提到的那些激動人心的話題。對圖靈傳奇人生的記載，則分佈在了全書的各個章節裡。理解圖靈機的提出動機、理論基礎和科學意義，所需要的東西都已經在這本書裡了。這不是一本教材，這不是一部傳記，這是一次終極數理科學的體驗。

這種為原文作注的方式給排版增加了不少的難度，但不管是原書還是譯書，排版上都做得非常漂亮。譯版採用了中英對照的方式來處理書中的圖靈論文原文部分，對於專業讀者來說是非常有用的。值得注意的是，和國內很多外版圖書的翻譯情況相同，《圖靈的祕密》一書也存在不少翻譯上的缺陷；對於那些有中英對照的部分，這一點尤其明顯。希望在今後的修訂當中，翻譯上的問題能夠有較大的改觀。

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