最長等差數列；及子序列分析

今日面試題：最長等差數列

給定未排序的陣列，請給出方法找到最長的等差數列。

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子序列分析

原題

給定長度為n的整數數列：a0,a1,..,an-1，以及整數S。這個數列會有連續的子序列的整數總和大於S的，求這些數列中，最小的長度。

分析

如果只是像題目這樣的描述，沒有強調正數，可以採用O(n^2)的方法。但是，很多同學在討論的時候，指出瞭如果是正數，解法將會有什麼樣的變化。這個很好。不考慮正負的O(n^2)的方法，這裡不詳細說了，我們來討論，當數列中都是正數的情況。

介紹一個利用排序+二分的方法。對於子序列ai...at，子序列和s=ai+...+at=sum[t]-sum[i-1]。sum[t]表示數列a0...at的和。那麼，陣列sum天然就是遞增的，可以進行二分查詢。 那麼如何進行二分查詢呢？對於陣列sum，遍歷找到第一個k，sum[k]>S，二分查詢k前面的某一個j，j是sum[k]-sum[j]>S裡最大的一個，則k-j是最小的。依次遍歷完陣列。 可以得到最小的長度，整體的時間複雜度O(nlogn)，空間複雜度為O(n)。 是否有更快的方法呢？從以上兩個方法，我們可以有如下的觀察：

• a0...at>S，則a0...at+1無需再考慮

• 對於a0...at>S，只需嘗試a1...at是否>S，如果大於S，則更新最短長度。

• 如果不大於S，大於S的只可能是a1...atat+1等。

鑑於以上的觀察，我們有如下的演算法：設定索引i，j指向第一個整數：

1. ++j，直到sum[j]-sum[i]>S，這裡不需要額外儲存sum，為了方便說明。記錄子序列長度

2. ++i，如果sum[j]-sum[i]>S，更新最小子序列長度。直到sum[j]-sum[i]<=S。

3. ++j，直到sum[j]-sum[i]>S。重複上面的兩步，直到陣列遍歷完畢。

整個演算法的時間複雜度為O(n)。下面我們做一個示例陣列為{5,1,3,5,10,7,4,9,2,8},S=10，i=j=0開始

1. 當j=3時，和為14>10,則更新最小長度為4

2. 對i進行遞增操作，和為9<10，不滿足條件。對j進行遞增

3. 當i=1，j=4時，和為19>10,長度為4，不更新最小長度。遞增i，直到i=3,此時和15>10,更新最小長度為2,

4. 依次類推

最終得到最小長度為2.

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-09-05釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。