繩子的長度；及找陣列的波谷分析

今日面試題：繩子的長度

一根一米長的繩子，隨機斷成三段；求最短的一段的期望長度以及最長的一段的期望長度。

================================

找陣列的波谷分析：

原題

一個陣列A[1...n]，滿足A[1]>=A[2], A[n] >= A[n-1]。A[i]被成為波谷，意味著：A[i-1] >= A[i] <= A[i+1]。請給出一個演算法，找到陣列中的一個波谷。O(n)的方法，是很直接，有更快的方法麼？

分析

這個題目遍歷一遍陣列，顯然就可以找到全部的波谷。時間複雜度O(n)，空間複雜度是O(1)。但是如果我們只需要找到一個波谷，是否有更快的方法呢？更快的方法O(1)是不可能的，那只有O(logn)，自然就想到二分查詢。這個題目如果進行二分呢？我們看下面的陣列A：

0	1	2	3	4	5	6
9	7	7	2	1	3	7
left			mid			right

A[0]>A[1]，A[6]>A[5]，滿足題目中要求陣列的條件。滿足這樣的條件，陣列中一定是存在波谷的。假設不存在波谷，則A[0]

上表中的mid=3，A[mid]=2。A[mid-1]

0	1	2	3	4	5	6
9	7	7	2	1	3	7
			left	mid		right

此時，mid滿足波谷的條件，找到波谷。

總結上面的思路，找到陣列的mid元素，mid有幾種情況：

如果A[mid-1]>=A[mid] && A[mid+1]>=A[mid]，找到波谷；

如果A[mid-1]<=A[mid]

如果A[mid+1]<=A[mid]

如果A[mid-1]

進一步分析

如果這個題目中，沒有A[1]>=A[2]以及A[n]>=A[n-1]的約束，還能夠以O(logn)的時間複雜度完成麼？關鍵點就在於，中間的元素與其相鄰的元素進行大小比較的時候，還能否選擇一邊繼續進行查詢。當A[mid-1]<=A[mid]時，可能是A[1]

T(n)=2T(n/2)+1

根據主定理，解得，時間複雜度為O(n).此時，是不存在O(logn)的。

本文來自微信：待字閨中，2013-07-23釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。