最長上升子序列（LIS）的兩種演算法

方法一：時間複雜度O(n^2)

 狀態轉移方程為dp[I]=max(dp[i],dp[j]+1) (j<i);

很好理解：假設有一個序列 A={1,2,5,3,4,7}；

流程：

dp[i]初值都為1;

1) dp[1]=1;

2)dp[2]=1,A[2]>A[1] dp[2]=max{dp[2], dp[1]+1}=2;

3)dp[3]=1,A[3]>A[3] dp[3]=max{dp[3], dp[1]+1}=2;A[3]>A[2] dp[3]=max{dp[3], dp[2]+1}=3;

4)同上；

5)最後的dp[n]即為最長的序列；

程式碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 100000
using namespace std;
int a[N];
int dp[N];
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>a[i];
            dp[i]=1;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=i-1;j>=0;j--)
            {
                if(a[j]<a[i])
                {
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
        }
        sort(dp,dp+n);
        cout<<dp[n-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

方法二：時間複雜度（O(n*logn)）

設A[t]=表示序列的第t個元素，f[t]表示長度為t的序列中最後一個數最小的那個數;

因此我們可以知道f[]陣列有一個特殊的性質

f[i]<f[i+1]<f[i+2].......

假設 A[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的LIS長度為5。

初始化 len=1；F[1]=A[1]=2;

1)A[2]=1小於F[1] 因此更新F[1]=A[2]=1;len=1;

2)A[3]=3大於F[1]因此F[++len]=A[3]；

。。。。。然後

。。。。。繼續

。。。。。更新的結尾

我們模擬這個過程可以發現 更新的時候總是在F找到小於更新值的最大值的位置,因此我們可以用二分進行搜尋

例題：HDU1025 Constructing Roads In JGShining's Kingdom 

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1025

程式碼如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 500001;

int p[maxn],f[maxn];//f[i]表示長度為i的序列中最後一個數最小的那個數

int binary_search(int a,int l,int r){//在f[]中找到小於等於a的最大的數的序號
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(a==f[mid]) return mid;
        if(a>f[mid]) l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l;
}

int main()
{
    int n,cnt=1;;
    while(~scanf("%d",&n)){
        int pp,rr;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d%d",&pp,&rr);
            p[pp]=rr;
        }
        f[1]=p[1];
        int len=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            int pos=binary_search(p[i],1,len);
            f[pos]=p[i];
            if(pos>len)
                len++;
        }
        printf("Case %d:\n",cnt++);
        if(len==1)
            puts("My king, at most 1 road can be built.");
        else
            printf("My king, at most %d roads can be built.\n",len);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}