今日面試題：最長迴文子串；及迴文分割分析

今日面試題：最長迴文子串

給定字串，找到它的最長迴文子串，都有哪些思路呢？例如"adaiziguizhongrenenrgnohziugiziadb",迴文字串很多了，但最長的是"daiziguizhongrenenrgnohziugiziad"。

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迴文分割

分析

原題對一個字串按照迴文進行分割，例如aba|b|bbabb|a|b|aba就是字串ababbbabbababa的一個迴文分割，每一個字串都是一個迴文。請找到可以分割的最少的字串數。例如：

1. ababbbabbababa最少4個字串，分割三次：a|babbbab|b|ababa

2. 如果字串整體是迴文，則需要0次分割，最少1個字串

分析

這個題目很多做過leetcode的同學都見過，所以很多同學直接回復了DP。不過還是建議大家動手寫一寫。熟能生巧的。那麼該如何分析這個題目呢？

我們可以先不理會最少分割，從對字串進行迴文分割入手，對於迴文字串的判斷是不可避免的。我們可以從字串的第一個字元開始，找滿足迴文的字 串。假設str[0..k]是一個迴文字串（包括0和k），問題可以分解為子問題了：假設count[i]表示從i開始、包括i的字串的迴文切割數（當 然是有很多可能的），如果str[0..k]是一個迴文字串，則count[i]=count[k+1] + 1。找到遞迴表示式，這裡要注意，從0開始，可能會有多個迴文子串，也正是因為如此，才有最少分割一說。

上面的演算法中，每次要遍歷一遍字串，同時要判斷子串是否是迴文，這裡顯然是存在重複計算的。這給我們改進提供了可能。那麼該如何更好的判斷迴文呢？我們設定P[i][j]：

1. 為true時，表示str[i..j]為迴文

2. 為false時，表示str[i..j]不是迴文

則，當：

1. i==j時，P[i][j]=true

2. j==i+1時，P[i][j]=str[i]==str[i]

3. 其他，P[i][j]=P[i+1][j-1]&&(str[i]==str[j])

這個P該如何構建呢？根據其狀態轉移的方程，P[i][j]所代表的字串，長度從1開始變化，逐漸到整個字串，是這樣的一個構建的過程，所以外層迴圈應該是所要判斷的字串的長度。基本程式碼如下：

迴文字串判斷完畢之後，改如何計算最少分割呢？我們可以根據P構建一棵樹，然後寬度有限遍歷，找到樹的最小深度。上面判斷迴文的時間複雜度為 O(n^2)，構建樹的時間複雜度為遍歷一次P，時間複雜度也是O(n^2)，最後樹的遍歷，時間複雜度要小於O(n^2)，這樣，整體的時間複雜度為 O(n^2)。

也可以不這樣考慮，如同我們上面說的，我們用C[i]表示str[0..j]的最小分割數，然後變數k從1開始到n遍歷，找到最少的分割。時間複雜度O(n^2)。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-09-22釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。