洛谷題單指南-動態規劃1-P1048 [NOIP2005 普及組] 採藥

原題連結：https://www.luogu.com.cn/problem/P1048

題意解讀：在有限的時間內，採集到最大價值的草藥，實際上是01揹包問題，這裡的總時間就是揹包的體積。

解題思路：

設v[]表示每株草藥的時間, w[]表示每株草藥的價值，

dp[i][j]表示採前i株草藥在時間j內可得到的最大價值，

對於第i株草藥，採或不採，取max，可得遞推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);

注意i取值1~m，j取值0~t，要保證j-v[i]>=0才可採第i株

100分程式碼（二維）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105, M = 1005;
int t, m;
int v[N], w[N]; //v:時間 w：價值
int dp[N][M]; //dp[i][j]表示採前i株草藥在時間j內可得到的最大價值

int main()
{
    cin >> t >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= t; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(j >= v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[m][t];
    return 0;
}

由於i只跟i-1有關，可以用一維陣列進行最佳化

又因為j透過更小的j-v[i]推出，如果在一維的情況下，先更新小的dp[j]，會導致後面計算依賴的dp[j]發生變化，所有要先更新大的j，也就是j的遍歷要從大到小，另外可以把j >= v[i]直接提到for條件中

100分程式碼（一維）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105, M = 1005;
int t, m;
int v[N], w[N]; //v:時間 w：價值
int dp[M]; //dp[j]表示在時間j內可得到的最大價值

int main()
{
    cin >> t >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        for(int j = t; j >= v[i]; j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[t];
    return 0;
}