CF1073E Segment Sum
這道數位dp與其他不同的是，這個求的是滿足要求的數的和，這種題型的題我們還沒有做過。
以前雖然做過一些求和或者求積的題，但都是求每個滿足條件的數的數位和、二進位制1的個數等等的和。而這道題是對\([L,R]\)中滿足條件的數直接求和，這意味著基本不會有兩個狀態得出相同的結果。這種情況我們應該怎麼做呢？
總之先打出暴搜，引數中的\(tk\)表示到現在一共有多少個不同的數，\(sum\)表示到現在的和。
1.1 暴搜
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int l,r,k,a[30];
int sta[30];
bitset<10> vis;
int dfs(int pos,bool limit,int tk,int sum,bool zero){
if(tk>k) return 0;
if(pos==0) return sum;
int rig=limit?a[pos]:9,ans=0;
for(int i=0;i<=rig;i++){
bool temp=(zero&&i==0);//是否為前導0
int presta=sta[pos];
bool previs=vis[i],add=0;
if(!temp) add=(!vis[i]),sta[pos]=i,vis[i]=1;
ans+=dfs(pos-1,limit&&i==rig,tk+add,(sum*10%mod+i)%mod,temp);
ans%=mod;
sta[pos]=presta,vis[i]=previs;
}
return ans;
}
int solve(int x){
int len=0;
while(x){
a[++len]=x%10;
x/=10;
}
return dfs(len,1,0,0,1);
}
signed main(){
cin>>l>>r>>k;
cout<<solve(r)-solve(l-1);
return 0;
}
接著我們考慮最佳化，但是卻發現怎麼也無法入手，為什麼？這是因為我們始終是進行到最後再返回\(sum\)，而兩個狀態因為前面填的位都不一樣所以\(sum\)幾乎不存在一樣的，所以沒法記憶化。
所以我們考慮另一種最佳化方式，也就是最佳化\(sum\)的計算方法，把計算到末尾再返回整個數是多少，改成返回這個數位到最低位的子串是多少。然後在迴圈裡\(ans\)逐個累加，但是返回的值還需要加上自己這個數位啊。所以在逐個累加每一個答案的同時，累加上當前這一位\(sta[pos]*10^{pos}\)。
見下圖：
為什麼這樣就方便記憶化了呢？因為這樣每個遞迴的節點都只關注它後面的值，不會受前面的影響。自然我們就可以確定，如果\(pos\)相同，\(vis\)的值相同，兩個狀態答案一樣。
這樣的話暴搜程式碼就得重製了，見下：
1.2 改進的暴搜
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int l,r,k,a[30],ph[30];
int sta[30],f[30][1050];
bitset<10> vis;
pair<int,int> dfs(int pos,bool limit,int tk,bool zero){
if(tk>k) return {0,0};
if(pos==0) return {0,1};
int rig=limit?a[pos]:9;
pair<int,int> ans={0,0};
for(int i=0;i<=rig;i++){
bool temp=(zero&&i==0);//是否為前導0
int presta=sta[pos];
bool previs=vis[i],add=0;
if(!temp) add=(!vis[i]),sta[pos]=i,vis[i]=1;
auto res=dfs(pos-1,limit&&i==rig,tk+add,temp);
ans.first=(ans.first+res.first)%mod;
ans.first+=(i*res.second%mod*ph[pos]%mod);
ans.first%=mod;
ans.second+=res.second;
sta[pos]=presta,vis[i]=previs;
}
return ans;
}
int solve(int x){
int len=0;
while(x){
a[++len]=x%10;
x/=10;
}
return dfs(len,1,0,1).first;
}
signed main(){
ph[1]=1;
for(int i=2;i<=25;i++) ph[i]=ph[i-1]*10%mod;
cin>>l>>r>>k;
cout<<solve(r)-solve(l-1);
return 0;
}
注意到我們廢棄了\(sum\)引數，這是因為我們已經修改了\(sum\)的計算方法，改為存在返回值裡。但返回值使用了pair<int,int>，這是為什麼呢？
first表示到目前的\(sum\)，即滿足條件的數的和。second表示到目前滿足條件的數的個數。
為什麼還要記個數呢？是因為我們需要知道這個子節點有多少個答案，也就是需要額外加多少個\(sta[pos]*10^{pos}\)。
根據上面我們的推導，用\(f[pos][vis]\)來記憶化即可。大小\(20*1024\)。
（這個題如果再加一問，詢問一共有多少個，輸出根節點的second即可）
1.3 記憶化
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int l,r,k,a[30],ph[30];
int sta[30];
pair<int,int> f[30][1050];
bitset<10> vis;
pair<int,int> dfs(int pos,bool limit,int tk,bool zero){
if(tk>k) return {0,0};
if(pos==0) return {0,1};
int visnum=vis.to_ulong();
if(!limit&&!zero&&f[pos][visnum].first!=-1){
return f[pos][visnum];
}
int rig=limit?a[pos]:9;
pair<int,int> ans={0,0};
for(int i=0;i<=rig;i++){
bool temp=(zero&&i==0);
int presta=sta[pos];
bool previs=vis[i],add=0;
if(!temp) add=(!vis[i]),sta[pos]=i,vis[i]=1;
auto res=dfs(pos-1,limit&&i==rig,tk+add,temp);
ans.first=(ans.first+res.first)%mod;
ans.first+=(i*res.second%mod*ph[pos]%mod);
ans.first%=mod;
ans.second=(ans.second+res.second)%mod;
sta[pos]=presta,vis[i]=previs;
}
if(!limit&&!zero) f[pos][visnum]=ans;
return ans;
}
int solve(int x){
int len=0;
while(x){
a[++len]=x%10;
x/=10;
}
return dfs(len,1,0,1).first;
}
signed main(){
memset(f,-1,sizeof f);
ph[1]=1;
for(int i=2;i<=25;i++) ph[i]=ph[i-1]*10%mod;
cin>>l>>r>>k;
cout<<(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod;
return 0;
}