Educational Codeforces Round 165 (Rated for Div. 2) C. Minimizing the Sum題解

1v7w發表於2024-05-01

題意

Codeforces Round 809 (Div. 2) D1. Chopping Carrots (Easy Version)

給你兩個整數\(n(1 \le n \le 3e5), k(0\le k \le 10)\), 一個陣列 \(a(1 \le a_i \le 10^9)\)。你可以進行如下操作最多 \(k\) 次：選定一個數 \(i(1 \le i \le n)\)，讓其變為相鄰的數(變為\(a_{i-1}, a_{i+1}\)中的一個），\(a_1\) 與 \(a_n\) 不相鄰。
輸出陣列各個元素之和最小值。

思路

這道題觀察資料範圍可以猜測解法可能與 \(k\) 有關，複雜度可能為 \(O(nk), O(nk^2)\) 甚至 \(O(nk^3)\) 。

打假一下貪心做法，就是時刻維護相鄰元素的差，每次操作都選取最大的差來操作。
例如如下資料：

4 2
120 70 1 80

如果按照貪心思路，最後陣列變為了120 1 1 1，但正確結果的陣列應該是1 1 1 80。

這道題需要提取出如下的性質：

  • 如果一段區間被操作了，那麼最終的陣列一定是這個區間中的最小值
  • 操作的區間與區間之間不會有交叉部分

這裡就要用到dp來解決(一般我的各種演算法都不行，貪心也被hack時候，就會考慮dp)。
設定 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 個元素中，用了 \(j\) 次操作後的元素之和的最小值。
根據定義，表示出狀態轉移： \(f_{i,j} = min\{f_{i-1,j} + minv * 1, f_{i-2,j-1} + minv * 2, ..., f_{i-(k+1),j-k} + minv * (k+1) \}\)。其中 \(minv\) 表示 \([i-d-1,i]\) 區間中的最小值

程式碼

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>
#include <bitset>

#define fi first
#define se second

using namespace std;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using pii = pair<int, int>;

const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ull P = 131;
const double eps = 1e-4;
const int N = 3e5+10, M = 11;

ll n, k, a[N];
ll f[N][M];

void solve() {
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%lld", &a[i]);
    for (int i=0; i<=n; i++)
        for (int j=0; j<=k+1; j++)
            f[i][j] = inf;

    f[0][0] = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        for (int j=0; j<=k; j++) {
            ll minv = a[i];
            for (int d=0; d<=j && i-d-1>=0; d++) {
                minv = min(minv, a[i-d]);
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i-d-1][j-d] + minv * (d + 1));
            }
        }
    }
    
    ll res = inf;
    for (int i=0; i<=k; i++) res = min(res, f[n][i]);
    printf("%lld\n", res);
}

int main() {
    // multiple case
    int t; scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        solve();
    }

    // single case
    // solve();

    return 0;
}

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