【LeetCode】416. Partition Equal Subset Sum 解題報告（Python & C++）

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作者： 負雪明燭
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題目描述
題目大意
解題方法
DFS
動態規劃
日期
題目地址：https://leetcode.com/problems/partition-equal-subset-sum/description/

題目描述
Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.

Note:

Each of the array element will not exceed 100.
The array size will not exceed 200.
Example 1:

    Input: [1, 5, 11, 5]
    
    Output: true
    
    Explanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].

Example 2:

    Input: [1, 2, 3, 5]
    
    Output: false
    
    Explanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.

題目大意
判斷是否可以把一組數字分成兩堆，兩堆數字的和相等。

解題方法
DFS
首先要判斷所有數字的和是不是偶數，然後我們使用一個長度為2的陣列進行儲存我們要平分得到的target，這麼做是我們可以通過使用-，+兩種操作來跳過一些數字。同樣是dfs，這裡的dfs操作允許跳過某些位置去向下尋找，只要找到一個滿足條件的就可以停止。而subsets的題不可以這麼做，因為我們要找到所有的可能的答案。因此可以看做是兩套模板。

Python程式碼：

class Solution:
    def canPartition(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: bool
        """
        _sum = sum(nums)
        div, mod = divmod(_sum, 2)
        if mod or max(nums) > div: return False
        nums.sort(reverse = True)
        target = [div] * 2
        return self.dfs(nums, 0, target)
    
    def dfs(self, nums, index, target):
        for i in range(2):
            if target[i] >= nums[index]:
                target[i] -= nums[index]
                if target[i] == 0 or self.dfs(nums, index + 1, target): return True
                target[i] += nums[index]
        return False
動態規劃
這個題其實是個0-1揹包問題。所以可以使用動態規劃求解。

求和是必須的，目標target等於和的一半。如果和不是偶數的話則一定不可能由陣列構成出來，直接返回false.

首先定義dp陣列為dp[i][j]，其意義是使用前i個數字的和能不能構成整數j。我們需要把每個位置都進行遍歷，同時也要對0~target之間的所有正整數進行遍歷。很顯然，狀態轉移的方程是，遍歷到i位置時能不能構成target = 前面的數字的和能夠成target || 前面的數字能構成target - nums[i]。這兩個狀態分別是選不選取nums[i]的兩種情況，如果有一種情況成立即可。

狀態轉移方程如下：

dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i]]
1
這個題的技巧和難點就在於，需要把陣列的每個數字的和當做dp的一個狀態，這個是很少見的，其實題目給的有提示：陣列的每個數都是整數，並且數字不會超過200，陣列長度不超過100，這些說明了數字的和不會太大不會太多。

具體C++程式碼如下：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        const int N = nums.size();
        int target = sum >> 1;
        if (sum % 2 != 0) return false;
        //dp[i][j] means whether we can sum to j using first i numbers.
        vector<vector<bool>> dp(N + 1, vector<bool>(sum + 1, false));
        // every number can build number 0.
        for (int i = 0; i <= N; ++i) {
            dp[i][0] = true;
        }
        // but for position 0, it can build number nothing.
        for (int j = 1; j <= target; ++j) {
            dp[0][j] = false;
        }
        // anyway, position 0 can build number 0.
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            for (int j = 0; j <= target; ++j) {
                if (j >= nums[i - 1])
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        return dp[N][target];
    }
};

從上面的程式碼中可以看出，每個位置的狀態只與其前面位置的狀態有關，所以可以做狀態壓縮節約空間複雜度。

只使用一維dp陣列，dp[j]表示從陣列中任意取數字的和能不能構成j。狀態轉移方程就是忽略掉二維陣列的第一個維度即可，即：

dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]]
1
還要說一下，為什麼需要從後向前更新dp，這是因為每個位置依賴與前面的一個位置加上nums[i]，如果我們從前向後更新的話，那麼dp[i - 2]會影響dp[i - 1]，然後dp[i - 1]接著影響dp[i]，即同樣的一個nums[i]被反覆使用了多次，結果肯定是不正確的。但是從後向前更新就沒有問題了。

那麼結合上面的分析，可以寫出如下程式碼：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        const int N = nums.size();
        if (sum % 2 != 0) return false;
        int target = sum >> 1;
        vector<bool> dp(sum + 1, false);
        dp[0] = true;
        for (int num : nums) {
            for (int j = target; j >= num; --j) {
                dp[j] = dp[j] || dp[j - num];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

日期
2018 年 4 月 2 日 —— 要開始準備ACM了
2019 年 1 月 8 日 —— 別熬夜，我都開始有黑眼圈了。。
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作者：負雪明燭 
來源：CSDN 
原文：https://blog.csdn.net/fuxuemingzhu/article/details/79787425 
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