今天下午收到高宇涵老師的寄來的《程式設計師的演算法趣題》，這本書的第 1 題是迴文十進位制數：

求用十進位制、二進位制、八進位制表示都是迴文數的所有數字中，大於十進位制數 10 的最小值。

書中的解題思路是：

因為是二進位制的迴文數，所以如果最低位是 0，那麼相應地最高位也是 0。但是，以 0 開頭肯定是不恰當的，由此可知最低位為 1。

如果用二進位制表示時最低位為 1，那這個數一定是奇數，因此只考慮奇數的情況就可以。接下來可以簡單地編寫程式，從 10 的下一個數字 11 開始，按順序搜尋。

書中使用 Ruby 和 JavaScript 編寫程式求解，如果使用 Haskell 編寫程式求解：

import Data.Digits ( digitsRev )
main = print $ head $ filter (\n -> and [(\a -> a ==
  reverse a) $ digitsRev b n | b <- [10,8,2]]) [11,13..]

這個程式執行 0.01 秒後，得到答案：

585₁₀ = 1111₈ = 1001001001₂

進階

書中的演算法對於這個問題是恰當的，但是如果要尋找更大的滿足要求的數，就太慢了。我們可以事先構造出十進位制奇迴文數，以加快尋找速度。由此，我使用 Haskell 語言編寫以下程式：

import Data.Digits ( digitsRev )
main = print $ concat [filter (\n -> and [(\a -> a == reverse a) $
  digitsRev b n | b <- [2,8]]) [read $ x : s ++ y ++ reverse s ++ [x]
  | x <- "13579", s <- if n /= 0 then [replicate (n - length t) '0'
  ++ t | i <- [0 .. 10^n-1], let t = show i] else [""], y <- if z
  then map show [0..9] else [""]] | n <- [0..3], z <- [False, True]]

簡要說明：

• 第 2 至 3 行檢查所給的十進位制奇迴文數是不是二進位制和八進位制迴文數。
• 最後一行 z = False 時生成 xabccbax 形狀的十進位制奇迴文數，x 是奇數（見第 4 行）。
• 最後一行 z = True 時生成 xabcycbax 形狀的十進位制奇迴文數，第 4 行的 s 就是"abc" 。
• 最後一行的 n 決定生成的十進位制奇迴文數的位數，共 2n+2 (z = False) 或 2n+3 (z = True) 位。

在這個程式中的最後一行中，n 從 0 至 3，用於在 2 位至 9 位的十進位制奇迴文數中尋找。執行這個程式，瞬間（用時 0.4 秒）得到：

719848917₁₀ = 5272002725₈ = 101010111010000000010111010101₂

但是，我沒有找到更大的滿足要求的數。不知道是否還存在這樣的數。