https://www.math.pku.edu.cn/teachers/baozq/algebra/alg1.htm
矩陣的相抵、相似與合同
基本概念:
- 相抵, 相抵標準形
- 相似, 對角化, 跡, 可對角化矩陣的相似標準形
特徵值, 特徵向量, 特徵多項式, 特徵子空間 - 正交矩陣, Kn的內積, 標準正交基
實對稱矩陣的正交相似標準形 - 二次型及其等價, 對稱矩陣的合同
二次形的標準形, 規範形, 秩, 正/負慣性指數, 符號差
正定, 半正定, 負定, 半負定, 不定, 順序主子式
常用演算法:
- 用秩決定相抵標準形
- 若矩陣A有特徵向量構成的基\(A_1, ..., A_n\),
使得\(A A_i=K_i A_i\), 而\(K_i\)是全部特徵值;
則相似標準形\(U^{-1}AU=diag(K_1,...,K_n)\), 而且\(U=(A_1, ..., A_n)\) - 特徵值是k的多項式|kI-A|的根
屬於ki的特徵向量是齊次方程組(kiI-A)X=0的非零解 - Schmidt正交化過程
求實對稱矩陣的正交相似標準形 - 用配方法或成對初等變換法求二次型的標準形
- 對實二次型由標準形求規範形
由規範形判定正定性
主要理論:
矩陣相抵<=>秩相等
相似相似時行列式,秩,跡,特徵多項式,特徵子空間維數相等
n階矩陣可對角化<=>有特徵向量構成的Kn的基
不同特徵子空間線性無關
實對稱矩陣正交相似於對角矩陣
對稱矩陣合同於對角矩陣, 二次型等價於只含平方項的二次型
慣性定理
正定的幾組等價判定條件 (包括全部順序主子式>0)
特別注意:
正交相似的實對稱矩陣既相似也合同