矩陣合同的本質

oneslide發表於2020-11-23
矩陣

經過漫長的學習，我總算是理解了矩陣相似與線性變換。但是頭上有兩個疑惑，那就是合同。合同這個東西在對稱矩陣中與相似有了交集，加上定義的相似性，我實在是困惑的很。

矩陣合同與相似中，我算是搞明白了矩陣相似指的是同一線性變換在不同基下的不同表示。但是矩陣合同指的是是同一個雙線性形在不同基下的矩陣我一直沒有搞懂。探索性地學一下，不是職業修仙，當個散修~

雙線性型

在基 { e 1 , e 2 , . . . e n } \{e_1,e_2,...e_n\} {e1​,e2​,...en​}下有兩個向量 v v v和 w w w,

其中：

v = x 1 e 1 + x 2 e 2 + . . . . x n e n w = y 1 e 1 + y 2 e 2 + . . . . y n e n v = x_1 e_1+x_2e_2+....x_ne_n \\ w=y_1e_1+y_2e_2+....y_ne_n v=x1​e1​+x2​e2​+....xn​en​w=y1​e1​+y2​e2​+....yn​en​

求兩個向量的內積(dot product)怎麼算？

⟨ v , w ⟩ = x 1 e 1 + x 2 e 2 + . . . . x n e n ? n o n o n o . . . . \langle v,w \rangle=x_1 e_1+x_2 e_2+.... x_ne_n? nonono.... ⟨v,w⟩=x1​e1​+x2​e2​+....xn​en​?nonono....

那是在基 { e 1 , e 2 , . . . e n } \{e_1,e_2,...e_n\} {e1​,e2​,...en​}是標準正交基的前提下，向量正交只要 ⟨ e i , e j ⟩ = 0 ( i ≠ j ) \langle e_i,e_j \rangle =0 (i \ne j) ⟨ei​,ej​⟩=0(i​=j)。

加入基 { e 1 , e 2 , . . . e n } \{e_1,e_2,...e_n\} {e1​,e2​,...en​}不是標準正交基呢？

那麼先做個習題：

( 1 + 2 x ⃗ ) ( 1 − 3 x ⃗ ) = 1 + 2 x ⃗ − 3 x ⃗ − 6 ⟨ x ⃗ , y ⃗ ⟩ (1+2 \vec x)(1-3 \vec x) =1+2\vec x-3\vec x-6 \langle \vec x, \vec y\rangle (1+2x )(1−3x )=1+2x −3x −6⟨x ,y ​⟩

類似的，這裡的 x i , y i x_i,y_i xi​,yi​都是常數。

那麼：

⟨ v , w ⟩ = ( x 1 e 1 + x 2 e 2 + . . . . x n e n ) ( y 1 e 1 + y 2 e 2 + . . . . y n e n ) = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) [ y 1 y 2 . . . y n ] = x T A n × n y ( 其 中 ： a i j = ⟨ e i , e j ⟩ ) \langle v,w \rangle= (x_1 e_1+x_2e_2+....x_ne_n)(y_1e_1+y_2e_2+....y_ne_n) = \\ (x_1,x_2,...x_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\... \\y_n \end{bmatrix} =x^T A_{n \times n} y (其中：a_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle) ⟨v,w⟩=(x1​e1​+x2​e2​+....xn​en​)(y1​e1​+y2​e2​+....yn​en​)=(x1​,x2​,...xn​)⎝⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎠⎟⎟⎟⎞​⎣⎢⎢⎡​y1​y2​...yn​​⎦⎥⎥⎤​=xTAn×n​y(其中：aij​=⟨ei​,ej​⟩)

雙線性型就是在一般基下的向量內積（叫做其中 A A A內積度量矩陣）

這樣計算內積比上面那個形式對於計算機而言計算方便。

待續…

相關文章