C++二叉查詢樹實現過程詳解

果凍想發表於2014-10-27
C++

什麼是二叉查詢樹

在資料結構中，有一個奇葩的東西，說它奇葩，那是因為它重要，這就是樹。而在樹中，二叉樹又是當中的貴族。二叉樹的一個重要應用是它們在查詢中的應用，於是就有了二叉查詢樹。 使二叉樹成為一顆二叉查詢樹，需要滿足以下兩點：

  1. 對於樹中的每個節點X，它的左子樹中所有項的值都要小於X中的項；
  2. 對於樹中的每個節點Y，它的右子樹中所有項的值都要大於X中的項。

二叉查詢樹的基本操作

以下是對於二叉查詢樹的基本操作定義類，然後慢慢分析是如何實現它們的。

template<class T>

class BinarySearchTree
{
public:
    // 建構函式，初始化root值
    BinarySearchTree() : root(NULL){}
    // 解構函式，預設實現
    ~BinarySearchTree() {}
    // 查詢最小值，並返回最小值
    const T &findMin() const;
    // 查詢最大值，並返回最大值
    const T &findMax() const;
    // 判斷二叉樹中是否包含指定值的元素
    bool contains(const T &x) const;
    // 判斷二叉查詢樹是否為空
    bool isEmpty() const { return root ? false : true; }
    // 列印二叉查詢樹的值
    void printTree() const;
    // 向二叉查詢樹中插入指定值
    void insert(const T &x);
    // 刪除二叉查詢樹中指定的值
    void remove(const T &x);
    // 清空整個二叉查詢樹
    void makeEmpty() const;
private:
    // 指向根節點
    BinaryNode<T> *root;
    void insert(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const;
    void remove(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const;
    BinaryNode<T> *findMin(BinaryNode<T> *t) const;
    BinaryNode<T> *findMax(BinaryNode<T> *t) const;
    bool contains(const T &x, BinaryNode<T> *t) const;
    void printTree(BinaryNode<T> *t) const;
    void makeEmpty(BinaryNode<T> *&t) const;
};

findMin和findMax實現

根據二叉查詢樹的性質：

  1. 對於樹中的每個節點X，它的左子樹中所有項的值都要小於X中的項；
  2. 對於樹中的每個節點Y，它的右子樹中所有項的值都要大於X中的項。

我們可以從root節點開始：

  1. 一直沿著左節點往下找，直到子節點等於NULL為止，這樣就可以找到最小值了；
  2. 一直沿著右節點往下找，直到子節點等於NULL為止，這樣就可以找到最大值了。

如下圖所示：

alt

在程式中實現時，有兩種方法：

  1. 使用遞迴實現；
  2. 使用非遞迴的方式實現。

對於finMin的實現，我這裡使用遞迴的方式，程式碼參考如下：

BinaryNode<T> *BinarySearchTree<T>::findMin(BinaryNode<T> *t) const

{
    if (t == NULL)
    {
        return NULL;
    }
    else if (t->left == NULL)
    {
        return t;
    }
    else
    {
        return findMin(t->left);
    }
}

在findMin()的內部呼叫findMin(BinaryNode<T> *t)，這樣就防止了客戶端知道了root根節點的資訊。上面使用遞迴的方式實現了查詢最小值，下面使用迴圈的方式來實現findMax。

template<class T>

BinaryNode<T> *BinarySearchTree<T>::findMax(BinaryNode<T> *t) const
{
    if (t == NULL)
    {
        return NULL;
    }
    while (t->right)
    {
        t = t->right;
    }
    return t;
}

在很多面試的場合下，面試官一般都是讓寫出非遞迴的版本；而在對樹進行的各種操作，很多時候都是使用的遞迴實現的，所以，在平時學習時，在理解遞迴版本的前提下，需要關心一下對應的非遞迴版本。

contains實現

contains用來判斷二叉查詢樹是否包含指定的元素。程式碼實現如下：

template<class T>

bool BinarySearchTree<T>::contains(const T &x, BinaryNode<T> *t) const
{
    if (t == NULL)
    {
        return false;
    }
    else if (x > t->element)
    {
        return contains(x, t->right);
    }
    else if (x < t->element)
    {
        return contains(x, t->left);
    }
    else
    {
        return true;
    }
}

演算法規則如下：

  1. 首先判斷需要查詢的值與當前節點值的大小關係；
  2. 當小於當前節點值時，就在左節點中繼續查詢；
  3. 當大於當前節點值時，就在右節點中繼續查詢；
  4. 當找到該值時，直接返回true。

insert實現

insert函式用來向兒茶查詢樹中插入新的元素，演算法處理如下：

  1. 首先判斷需要插入的值域當前節點值得大小關係；
  2. 當小於當前節點值時，就在左節點中繼續查詢插入點；
  3. 當大於當前節點值時，就在右節點中繼續查詢插入點；
  4. 當等於當前節點值時，什麼也不幹。

程式碼實現如下：

template<class T>

void BinarySearchTree<T>::insert(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const
{
    if (t == NULL)
    {
        t = new BinaryNode<T>(x, NULL, NULL);
    }
    else if (x < t->element)
    {
        insert(x, t->left);
    }
    else if (x > t->element)
    {
        insert(x, t->right);
    }
}

remove實現

remove函式用來刪除二叉查詢樹中指定的元素值，這個處理起來比較麻煩。在刪除子節點時，需要分以下幾種情況進行考慮（結合下圖進行說明）： 如下圖所示：

alt

  1. 需要刪除的子節點，它沒有任何子節點；例如圖中的節點9、節點17、節點21、節點56和節點88；這些節點它們都沒有子節點；
  2. 需要刪除的子節點，只有一個子節點（只有左子節點或右子節點）；例如圖中的節點16和節點40；這些節點它們都只有一個子節點；
  3. 需要刪除的子節點，同時擁有兩個子節點；例如圖中的節點66等。

對於情況1，直接刪除對應的節點即可；實現起來時比較簡單的；

對於情況2，直接刪除對應的節點，然後用其子節點佔據刪除掉的位置；

對於情況3，是比較複雜的。首先在需要被刪除節點的右子樹中找到最小值節點，然後使用該最小值替換需要刪除節點的值，然後在右子樹中刪除該最小值節點。
假如現在需要刪除包含值23的節點，步驟如下圖所示：

alt

程式碼實現如下：

template<class T>

void BinarySearchTree<T>::remove(const T &x, BinaryNode<T> *&t) const
{
    if (t == NULL)
    {
        return;
    }
    if (x < t->element)
    {
        remove(x, t->left);
    }
    else if (x > t->element)
    {
        remove(x, t->right);
    }
    else if (t->left != NULL && t->right != NULL)
    {
        // 擁有兩個子節點
        t->element = findMin(t->right)->element;
        remove(t->element, t->right);
    }
    else if (t->left == NULL && t->right == NULL)
    {
        // 沒有子節點，直接幹掉
        delete t;
        t = NULL;
    }
    else if (t->left == NULL || t->right == NULL)
    {
        // 擁有一個子節點
        BinaryNode *pTemp = t;
        t = (t->left != NULL) ? t->left : t->right;
        delete pTemp;
    }
}

makeEmpty實現

makeEmpty函式用來釋放整個二叉查詢樹佔用的記憶體空間，同理，也是使用的遞迴的方式來實現的。具體程式碼請下載文中最後提供的原始碼。

總結

這篇文章對資料結構中非常重要的二叉查詢樹進行了詳細的總結，雖然二叉查詢樹非常重要，但是理解起來還是非常容易的，主要是需要掌握對遞迴的理解。如果對遞迴有非常紮實的理解，那麼對於樹的一些操作，那都是非常好把握的，而理解二叉查詢樹又是後續的AVL平衡樹和紅黑樹的基礎，希望這篇文章對大家有幫助。

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