五大常用演算法之四:回溯演算法

紅臉書生發表於2015-02-01

1、概念

回溯演算法實際上一個類似列舉的搜尋嘗試過程,主要是在搜尋嘗試過程中尋找問題的解,當發現已不滿足求解條件時,就“回溯”返回,嘗試別的路徑。

回溯法是一種選優搜尋法,按選優條件向前搜尋,以達到目標。但當探索到某一步時,發現原先選擇並不優或達不到目標,就退回一步重新選擇,這種走不通就退回再走的技術為回溯法,而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為“回溯點”。

許多複雜的,規模較大的問題都可以使用回溯法,有“通用解題方法”的美稱。

2、基本思想

在包含問題的所有解的解空間樹中,按照深度優先搜尋的策略,從根結點出發深度探索解空間樹。當探索到某一結點時,要先判斷該結點是否包含問題的解,如果包含,就從該結點出發繼續探索下去,如果該結點不包含問題的解,則逐層向其祖先結點回溯。(其實回溯法就是對隱式圖的深度優先搜尋演算法)。

若用回溯法求問題的所有解時,要回溯到根,且根結點的所有可行的子樹都要已被搜尋遍才結束。

而若使用回溯法求任一個解時,只要搜尋到問題的一個解就可以結束。

3、用回溯法解題的一般步驟:

(1)針對所給問題,確定問題的解空間:

首先應明確定義問題的解空間,問題的解空間應至少包含問題的一個(最優)解。

(2)確定結點的擴充套件搜尋規則

(3)以深度優先方式搜尋解空間,並在搜尋過程中用剪枝函式避免無效搜尋。

4、演算法框架

(1)問題框架

設問題的解是一個n維向量(a1,a2,………,an),約束條件是ai(i=1,2,3,…..,n)之間滿足某種條件,記為f(ai)。

(2)非遞迴回溯框架

int a[n],
i;初始化陣列a[];
i = 1;
while (i > 0(有路可走) and(未達到目標)) // 還未回溯到頭
{
    if (i > n) // 搜尋到葉結點
    {搜尋到一個解,輸出;
    } else // 處理第i個元素
    {
        a[i]第一個可能的值;
        while (a[i]在不滿足約束條件且在搜尋空間內) {
            a[i]下一個可能的值;
        }
        if (a[i]在搜尋空間內) {
            19 : 標識佔用的資源;20 : i = i + 1; // 擴充套件下一個結點  21:          }  22:          else  23:         {
            清理所佔的狀態空間; // 回溯25:               i = i –1; 
        }
    }

(3)遞迴的演算法框架

回溯法是對解空間的深度優先搜尋,在一般情況下使用遞迴函式來實現回溯法比較簡單,其中i為搜尋的深度,框架如下:

int a[n];
    try(int i)
    {
        if(i>n)
           輸出結果;
         else
        {
           for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 列舉i所有可能的路徑
           {
              if(fun(j))                 // 滿足限界函式和約束條件
                {
                   a[i] = j;
                ...                         // 其他操作
                   try(i+1);
                 回溯前的清理工作(如a[i]置空值等);
                 }
            }
        }
   }

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