[ABC223F] Parenthesis Checking 題解

2020luke發表於2024-04-04

[ABC223F] Parenthesis Checking 題解

思路解析

在開始之前，首先我們需要知道合法括號序列的判斷方法。我們可以給每個括號打上權值，設左括號權值為 \(1\)，右括號權值為 \(-1\)，這樣一個 \(\texttt{(()())}\) 括號串用數字存下就是 \(1,1,-1,1,-1,-1\)，這時我們再給序列計算一下字首和就成了 \(1,2,1,2,1,0\)。此時我們發現序列有一個性質就是元素全部大於等於 \(0\)，同時結尾的元素一定為 \(0\)。而例如我們找一個括號序列 \(\texttt{)()(}\)，它的字首和陣列為 \(-1,0,-1,0\)，可見雖然結尾是 \(0\)，但中間有元素小於 \(0\)，因此該括號序列並不合法。

現在我們已經知道了如何透過序列的字首和陣列判斷該序列是否合法，接下來我們就考慮如何修改。我們可以先把字首和陣列存下來，然後考慮每一次交換會對這個陣列產生怎樣的影響。首先，若交換 \(l,r\) 兩個位置上的括號，我們可以發現區間 \([1,l-1]\) 和 \([r,n]\) 是沒有影響的，真正有影響的只有 \([l,r-1]\) 這個區間。接下來我們分兩種情況考慮：

  • 若 \(l\) 位上的括號交換前是左括號時，可見由於第 \(l\) 位從 \(1\) 改成了 \(-1\)，所以就會對該區間加上 \(-2\) 的權值。
  • 若 \(l\) 位上的括號交換前是右括號時，可見由於第 \(l\) 位從 \(-1\) 改成了 \(1\)，所以就會對該區間加上 \(2\) 的權值。

最後考慮如何實現，我們需要做到區間求最小值，單點查詢，區間加三種操作，可以想到使用線段樹維護。注意由於我們存的值是字首和，所以需要減去 \(l-1\) 位置上的值才能得到正確的值。記得特判 \(l-1=0\) 時的情況。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, M = 8e5 + 10;
string str;
int n, q, a[N], s[M], t[M];
void push_up(int p) {
	int ls = (p << 1), rs = (p << 1) + 1;
	s[p] = min(s[ls], s[rs]);
}
void build(int p, int l, int r) {
	if(l == r) {
		s[p] = a[l];
		return;
	}
	int m = l + ((r - l) >> 1), ls = (p << 1), rs = (p << 1) + 1;
	build(ls, l, m);
	build(rs, m + 1, r);
	push_up(p);
}
void addt(int p, int l, int r, int k) {
	s[p] += k;
	t[p] += k;
}
void push_down(int p, int l, int r) {
	if(!t[p]) return;
	int m = l + ((r - l) >> 1), ls = (p << 1), rs = (p << 1) + 1;
	addt(ls, l, m, t[p]);
	addt(rs, m + 1, r, t[p]);
	t[p] = 0;
}
void add(int p, int l, int r, int x, int y, int k) {
	if(r < x || l > y) return;
	if(l >= x && r <= y) {
		addt(p, l, r, k);
		return;
	}
	push_down(p, l, r);
	int m = l + ((r - l) >> 1), ls = (p << 1), rs = (p << 1) + 1;
	add(ls, l, m, x, y, k);
	add(rs, m + 1, r, x, y, k);
	push_up(p);
}
int ask(int p, int l, int r, int x, int y) {
	if(r < x || l > y) return 2e9;
	if(l >= x && r <= y) return s[p];
	push_down(p, l, r);
	int m = l + ((r - l) >> 1), ls = (p << 1), rs = (p << 1) + 1;
	return min(ask(ls, l, m, x, y), ask(rs, m + 1, r, x, y));
}
int main() {
	cin >> n >> q;
	cin >> str;
	str = ' ' + str;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i] = a[i - 1];
		if(str[i] == '(') a[i]++;
		else a[i]--;
	}
	build(1, 1, n);
	while(q--) {
		int op, l, r;
		cin >> op >> l >> r;
		if(op == 1) {
			if(str[l] != str[r]) {
				if(str[l] == '(') add(1, 1, n, l, r - 1, -2);
				else add(1, 1, n, l, r - 1, 2);
				swap(str[l], str[r]);
			}
		}
		else {
			int tmp = ask(1, 1, n, l - 1, l - 1);
			if(l == 1) tmp = 0;
			int t1 = ask(1, 1, n, l, r - 1) - tmp, t2 = ask(1, 1, n, r, r) - tmp;
			if(t1 >= 0 && t2 == 0) cout << "Yes\n";
			else cout << "No\n";
		}
	}
	return 0;
}

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