BZOJ 3309 DZY Loves Math (莫比烏斯反演的應用 好題)

對於正整數n，定義f(n)為n所含質因子的最大冪指數。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
給定正整數a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。

第一行一個數T，表示詢問數。
接下來T行，每行兩個數a,b，表示一個詢問。

【資料規模】

T<=10000

1<=a,b<=10^7

題目連結：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309

題目分析：參考巨巨部落格

列舉d=gcd(i,j)得到

令g(x) = Σ[d|T]f(d)μ(T/d)

觀察這個函式 由於含平方因子數的μ值都為零，因此我們只考慮μ(T/d)!=0的數

令T=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak

    d=p1^b1*p2^b2*...*pk^bk

如果存在ai≠aj(i≠j)，那答案只取決於最大的冪，對於其餘部分通過組合數的性質，取得的數字個數為奇數和偶數的數量相等，因此和都是0，故如果存在ai≠aj(i≠j)，則g(T)=0

如果所有的a值都相等，我們假設對於任意選取方案，f值都不變，那麼由於選取奇數個元素和偶數個元素的方案數相等，和仍然為0

但是有一種選取方案的f值=a-1 即d=p1*p2*p3*...pk時，因此要把那個減去，根據莫比烏斯函式性質，減去的是(-1)^k，因為是減去所以最終結果為(-1)^(k+1)，故如果不存在ai≠aj，則g(T)=(-1)^(k+1)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int const MAX = 1e7 + 5;
//a表示最小素因子的冪，p_a表示最小素因子的乘積
int g[MAX], p[MAX], sum[MAX], a[MAX], p_a[MAX];
bool noprime[MAX];

void pre()
{
    int pnum = 0;
    for(int i = 2; i < MAX; i++)
    {
        if(!noprime[i])
        {
            p[pnum ++] = i;
            g[i] = 1;
            a[i] = 1;
            p_a[i] = i;
        }
        for(int j = 0; i * p[j] < MAX; j++)
        {
            noprime[i * p[j]] = true;
            if(i % p[j] == 0)
            {
                a[i * p[j]] = a[i] + 1;
                p_a[i * p[j]] = p_a[i] * p[j];
                if(i == p_a[i])
                    g[i * p[j]] = 1;
                else
                    g[i * p[j]] = (a[i / p_a[i]] == a[i * p[j]] ? -g[i / p_a[i]] : 0);
                break;
            }
            a[i * p[j]] = 1;
            p_a[i * p[j]] = p[j];
            g[i * p[j]] = (a[i] == 1 ? -g[i] : 0); 
        }
        sum[i] = sum[i - 1] + g[i];
    }
}

ll cal(int a, int b)
{   
    if(a > b)
        swap(a, b);
    ll ans = 0;
    for(int i = 1, last = 0; i <= a; i = last + 1)
    {
        last = min(a / (a / i), b / (b / i));
        ans += (ll) (a / i) * (b / i) * (sum[last] - sum[i - 1]);
    }
    return ans;
}   

int main()
{
    pre();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T --)
    {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);
        printf("%lld\n", cal(a, b));
    }
}