二分查詢（上）：如何用最省記憶體的方式實現快速查詢功能？

今天我們講一種針對有序資料集合的查詢演算法：二分查詢（Binary Search）演算法，也叫折半查詢演算法。二分查詢的思想非常簡單，很多非計算機專業的同學很容易就能理解，但是看似越簡單的東西往往越難掌握好，想要靈活應用就更加困難。

老規矩，我們還是來看一道思考題。

假設我們有 1000 萬個整數資料，每個資料佔 8 個位元組，如何設計資料結構和演算法，快速判斷某個整數是否出現在這 1000 萬資料中？ 我們希望這個功能不要佔用太多的記憶體空間，最多不要超過 100MB，你會怎麼做呢？帶著這個問題，讓我們進入今天的內容吧！

無處不在的二分思想

二分查詢是一種非常簡單易懂的快速查詢演算法，生活中到處可見。比如說，我們現在來做一個猜字遊戲。我隨機寫一個 0 到 99 之間的數字，然後你來猜我寫的是什麼。猜的過程中，你每猜一次，我就會告訴你猜的大了還是小了，直到猜中為止。你來想想，如何快速猜中我寫的數字呢？

假設我寫的數字是 23，你可以按照下面的步驟來試一試。（如果猜測範圍的數字有偶數個，中間數有兩個，就選擇較小的那個。）

7 次就猜出來了，是不是很快？這個例子用的就是二分思想，按照這個思想，即便我讓你猜的是 0 到 999 的數字，最多也只要 10 次就能猜中。不信的話，你可以試一試。

這是一個生活中的例子，我們現在回到實際的開發場景中。假設有 1000 條訂單資料，已經按照訂單金額從小到大排序，每個訂單金額都不同，並且最小單位是元。我們現在想知道是否存在金額等於 19 元的訂單。如果存在，則返回訂單資料，如果不存在則返回 null。

最簡單的辦法當然是從第一個訂單開始，一個一個遍歷這 1000 個訂單，直到找到金額等於 19 元的訂單為止。但這樣查詢會比較慢，最壞情況下，可能要遍歷完這 1000 條記錄才能找到。那用二分查詢能不能更快速地解決呢？

為了方便講解，我們假設只有 10 個訂單，訂單金額分別是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。

還是利用二分思想，每次都與區間的中間資料比對大小，縮小查詢區間的範圍。為了更加直觀，我畫了一張查詢過程的圖。其中，low 和 high 表示待查詢區間的下標，mid 表示待查詢區間的中間元素下標。

看懂這兩個例子，你現在對二分的思想應該掌握得妥妥的了。我這裡稍微總結昇華一下，二分查詢針對的是一個有序的資料集合，查詢思想有點類似分治思想。每次都通過跟區間的中間元素對比，將待查詢的區間縮小為之前的一半，直到找到要查詢的元素，或者區間被縮小為 0。

O(logn) 驚人的查詢速度
二分查詢是一種非常高效的查詢演算法，高效到什麼程度呢？我們來分析一下它的時間複雜度。

我們假設資料大小是 n，每次查詢後資料都會縮小為原來的一半，也就是會除以 2。最壞情況下，直到查詢區間被縮小為空，才停止。

可以看出來，這是一個等比數列。其中 n/2k=1 時，k 的值就是總共縮小的次數。而每一次縮小操作只涉及兩個資料的大小比較，所以，經過了 k 次區間縮小操作，時間複雜度就是 O(k)。通過 ，我們可以求得 ，所以時間複雜度就是 O(logn)。

二分查詢是我們目前為止遇到的第一個時間複雜度為 O(logn) 的演算法。後面章節我們還會講堆、二叉樹的操作等等，它們的時間複雜度也是 O(logn)。我這裡就再深入地講講 O(logn) 這種對數時間複雜度。這是一種極其高效的時間複雜度，有的時候甚至比時間複雜度是常量級 O(1) 的演算法還要高效。為什麼這麼說呢？

因為 logn 是一個非常“恐怖”的數量級，即便 n 非常非常大，對應的 logn 也很小。比如 n 等於 2 的 32 次方，這個數很大了吧？大約是 42 億。也就是說，如果我們在 42 億個資料中用二分查詢一個資料，最多需要比較 32 次。

我們前面講過，用大 O 標記法表示時間複雜度的時候，會省略掉常數、係數和低階。對於常量級時間複雜度的演算法來說，O(1) 有可能表示的是一個非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量級時間複雜度的演算法有時候可能還沒有 O(logn) 的演算法執行效率高。

反過來，對數對應的就是指數。有一個非常著名的“阿基米德與國王下棋的故事”，你可以自行搜尋一下，感受一下指數的“恐怖”。這也是為什麼我們說，指數時間複雜度的演算法在大規模資料面前是無效的。

二分查詢的遞迴與非遞迴實現
實際上，簡單的二分查詢並不難寫，注意我這裡的“簡單”二字。下一節，我們會講到二分查詢的變體問題，那才是真正燒腦的。今天，我們來看如何來寫最簡單的二分查詢。

最簡單的情況就是有序陣列中不存在重複元素，我們在其中用二分查詢值等於給定值的資料。我用 Java 程式碼實現了一個最簡單的二分查詢演算法。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
 
  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }
 
  return -1;
}

這個程式碼我稍微解釋一下，low、high、mid 都是指陣列下標，其中 low 和 high 表示當前查詢的區間範圍，初始 low=0， high=n-1。mid 表示 [low, high] 的中間位置。我們通過對比 a[mid] 與 value 的大小，來更新接下來要查詢的區間範圍，直到找到或者區間縮小為 0，就退出。如果你有一些程式設計基礎，看懂這些應該不成問題。現在，我就著重強調一下容易出錯的 3 個地方。

1. 迴圈退出條件
   注意是 low<=high，而不是 low<high。

2.mid 的取值
實際上，mid=(low+high)/2 這種寫法是有問題的。因為如果 low 和 high 比較大的話，兩者之和就有可能會溢位。改進的方法是將 mid 的計算方式寫成 low+(high-low)/2。更進一步，如果要將效能優化到極致的話，我們可以將這裡的除以 2 操作轉化成位運算 low+((high-low)>>1)。因為相比除法運算來說，計算機處理位運算要快得多。

3.low 和 high 的更新
low=mid+1，high=mid-1。注意這裡的 +1 和 -1，如果直接寫成 low=mid 或者 high=mid，就可能會發生死迴圈。比如，當 high=3，low=3 時，如果 a[3] 不等於 value，就會導致一直迴圈不退出。

如果你留意我剛講的這三點，我想一個簡單的二分查詢你已經可以實現了。實際上，二分查詢除了用迴圈來實現，還可以用遞迴來實現，過程也非常簡單。

我用 Java 語言實現了一下這個過程，正好你可以藉此機會回顧一下寫遞迴程式碼的技巧

// 二分查詢的遞迴實現
//val是要查詢的數字，n為陣列的長度，a為要查詢的陣列
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
 
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;
 
  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

二分查詢應用場景的侷限性
前面我們分析過，二分查詢的時間複雜度是 O(logn)，查詢資料的效率非常高。不過，並不是什麼情況下都可以用二分查詢，它的應用場景是有很大侷限性的。那什麼情況下適合用二分查詢，什麼情況下不適合呢？

首先，二分查詢依賴的是順序表結構，簡單點說就是陣列。

那二分查詢能否依賴其他資料結構呢？比如連結串列。答案是不可以的，主要原因是二分查詢演算法需要按照下標隨機訪問元素。我們在陣列和連結串列那兩節講過，陣列按照下標隨機訪問資料的時間複雜度是 O(1)，而連結串列隨機訪問的時間複雜度是 O(n)。所以，如果資料使用連結串列儲存，二分查詢的時間複雜就會變得很高。

二分查詢只能用在資料是通過順序表來儲存的資料結構上。如果你的資料是通過其他資料結構儲存的，則無法應用二分查詢。

其次，二分查詢針對的是有序資料。

二分查詢對這一點的要求比較苛刻，資料必須是有序的。如果資料沒有序，我們需要先排序。前面章節裡我們講到，排序的時間複雜度最低是 O(nlogn)。所以，如果我們針對的是一組靜態的資料，沒有頻繁地插入、刪除，我們可以進行一次排序，多次二分查詢。這樣排序的成本可被均攤，二分查詢的邊際成本就會比較低。

但是，如果我們的資料集合有頻繁的插入和刪除操作，要想用二分查詢，要麼每次插入、刪除操作之後保證資料仍然有序，要麼在每次二分查詢之前都先進行排序。針對這種動態資料集合，無論哪種方法，維護有序的成本都是很高的。

所以，二分查詢只能用在插入、刪除操作不頻繁，一次排序多次查詢的場景中。針對動態變化的資料集合，二分查詢將不再適用。那針對動態資料集合，如何在其中快速查詢某個資料呢？別急，等到二叉樹那一節我會詳細講。

再次，資料量太小不適合二分查詢。

如果要處理的資料量很小，完全沒有必要用二分查詢，順序遍歷就足夠了。比如我們在一個大小為 10 的陣列中查詢一個元素，不管用二分查詢還是順序遍歷，查詢速度都差不多。只有資料量比較大的時候，二分查詢的優勢才會比較明顯。

不過，這裡有一個例外。如果資料之間的比較操作非常耗時，不管資料量大小，我都推薦使用二分查詢。比如，陣列中儲存的都是長度超過 300 的字串，如此長的兩個字串之間比對大小，就會非常耗時。我們需要儘可能地減少比較次數，而比較次數的減少會大大提高效能，這個時候二分查詢就比順序遍歷更有優勢。

最後，資料量太大也不適合二分查詢。

二分查詢的底層需要依賴陣列這種資料結構，而陣列為了支援隨機訪問的特性，要求記憶體空間連續，對記憶體的要求比較苛刻。比如，我們有 1GB 大小的資料，如果希望用陣列來儲存，那就需要 1GB 的連續記憶體空間。

注意這裡的“連續”二字，也就是說，即便有 2GB 的記憶體空間剩餘，但是如果這剩餘的 2GB 記憶體空間都是零散的，沒有連續的 1GB 大小的記憶體空間，那照樣無法申請一個 1GB 大小的陣列。而我們的二分查詢是作用在陣列這種資料結構之上的，所以太大的資料用陣列儲存就比較吃力了，也就不能用二分查詢了。

解答開篇

二分查詢的理論知識你應該已經掌握了。我們來看下開篇的思考題：如何在 1000 萬個整數中快速查詢某個整數？

這個問題並不難。我們的記憶體限制是 100MB，每個資料大小是 8 位元組，最簡單的辦法就是將資料儲存在陣列中，記憶體佔用差不多是 80MB，符合記憶體的限制。藉助今天講的內容，我們可以先對這 1000 萬資料從小到大排序，然後再利用二分查詢演算法，就可以快速地查詢想要的資料了。

看起來這個問題並不難，很輕鬆就能解決。實際上，它暗藏了“玄機”。如果你對資料結構和演算法有一定了解，知道雜湊表、二叉樹這些支援快速查詢的動態資料結構。你可能會覺得，用雜湊表和二叉樹也可以解決這個問題。實際上是不行的。

雖然大部分情況下，用二分查詢可以解決的問題，用雜湊表、二叉樹都可以解決。但是，我們後面會講，不管是雜湊表還是二叉樹，都會需要比較多的額外的記憶體空間。如果用雜湊表或者二叉樹來儲存這 1000 萬的資料，用 100MB 的記憶體肯定是存不下的。而二分查詢底層依賴的是陣列，除了資料本身之外，不需要額外儲存其他資訊，是最省記憶體空間的儲存方式，所以剛好能在限定的記憶體大小下解決這個問題。

內容小結

今天我們學習了一種針對有序資料的高效查詢演算法，二分查詢，它的時間複雜度是 O(logn)。

二分查詢的核心思想理解起來非常簡單，有點類似分治思想。即每次都通過跟區間中的中間元素對比，將待查詢的區間縮小為一半，直到找到要查詢的元素，或者區間被縮小為 0。但是二分查詢的程式碼實現比較容易寫錯。你需要著重掌握它的三個容易出錯的地方：迴圈退出條件、mid 的取值，low 和 high 的更新。

二分查詢雖然效能比較優秀，但應用場景也比較有限。底層必須依賴陣列，並且還要求資料是有序的。對於較小規模的資料查詢，我們直接使用順序遍歷就可以了，二分查詢的優勢並不明顯。二分查詢更適合處理靜態資料，也就是沒有頻繁的資料插入、刪除操作。

課後思考

如何程式設計實現“求一個數的平方根”？要求精確到小數點後 6 位。

我剛才說了，如果資料使用連結串列儲存，二分查詢的時間複雜就會變得很高，那查詢的時間複雜度究竟是多少呢？如果你自己推導一下，你就會深刻地認識到，為何我們會選擇用陣列而不是連結串列來實現二分查詢了。

經典回覆

二分法求一個數x的平方根y？
解答：根據x的值，判斷求解值y的取值範圍。假設求解值範圍min < y < max。若0<x<1，則min=x，max=1；若x=1，則y=1；x>1，則min=1，max=x；在確定了求解範圍之後，利用二分法在求解值的範圍中取一箇中間值middle=(min+max)÷2，判斷middle是否是x的平方根？若(middle+0.000001)(middle+0.000001)＞x且(middle-0.000001)(middle-0.000001)<x，根據介值定理，可知middle既是求解值;若middlemiddle > x，表示middle＞實際求解值，max=middle; 若middlemiddle ＜ x，表示middle＜實際求解值，min =middle;之後遞迴求解！
備註：因為是保留6位小數，所以middle上下浮動0.000001用於介值定理的判斷

說說第二題吧，感覺爭議比較大:
假設連結串列長度為n，二分查詢每次都要找到中間點(計算中忽略奇偶數差異):
第一次查詢中間點，需要移動指標n/2次；
第二次，需要移動指標n/4次；
第三次需要移動指標n/8次；
......
以此類推，一直到1次為值

總共指標移動次數(查詢次數) = n/2 + n/4 + n/8 + ...+ 1，這顯然是個等比數列，根據等比數列求和公式：Sum = n - 1.

最後演算法時間複雜度是：O(n-1)，忽略常數，記為O(n)，時間複雜度和順序查詢時間複雜度相同

但是稍微思考下，在二分查詢的時候，由於要進行多餘的運算，嚴格來說，會比順序查詢時間慢

個人覺得二分查詢進行優化時，還個細節注意：
將mid = lo + (hi - lo) /2，將除法優化成移位運算時，得注意運算子的優先順序，千萬不能寫成這樣：mid = lo + (hi - lo) >> 1