很多人對於二分法的理解比較片面，之前碰到一個題目，從一個先升序後降序的數列中，比如 1 2 3 7 4 3 2 中運用二分法去查詢一個給定的元素，很多人說根本不能二分，因為沒有排序。其實 這道題完全可以使用二分查詢進行解答， 如果你覺得不可以的話，很可能對二分法理解還比較片面。 這裡以另外一個更加有趣（至少我認為）的例子來講解一下二分法。
題目
面試題： 有1000個一模一樣的瓶子，其中有1瓶是毒藥，老鼠喝了有毒的會在24h之後死亡。求最少需要多少老鼠才能在24h裡找到有毒的那瓶。
解法
這道題的解法有很多，今天我們來聊下用二分法來解這道題。 這道題似乎和我們看的的常見的二分法有很大的區別，但是仔細想一下， 二分法本質是將問題的規模縮小到原有的一半，帶著這樣的思想我們再來看一下。類似的，三分法就是將問題規模縮小為原來的1/3.
我們先對1000個瓶子進行編號，從1-1000這樣子。 不過我們不是通過我們大家平時生活中使用的十進位制，而是使用再計算機中使用的二進位制， 同時讓大家感受一下二進位制的魅力。
為了方便講解，我們假設不是1000個瓶子，而是4個。
我們來編一下號：
00 // #1
01 // #2
10 // #3
11 // #4
複製程式碼我們的目標是找到哪個瓶子有毒，換句話說我們目標是找到有毒瓶子的編號，再換句話說我們的目標是 找到有毒瓶子的3個bit分別是什麼，是0還是1.
比如有毒的是3號瓶子，那麼我們就是想確認第一個bit是0，第二個bit是1，第三個bit是1，即011，轉化為10進位制就是3號。
那麼如何確定每一個bit是什麼呢？ 回想一下，我們手上有老鼠，老鼠有兩個state，alive 或者 died，這就是我們擁有的全部。
接下來我們逐一對瓶子進行分組，分組的依據就是每一個bit的值。
比如:
// 00 01 #g1:1 第一個bit是0
// 10 11 #g1:2 第一個bit是1
// 00 10 #g2:1 第二個bit是0
// 01 11 #g2:2 第二個bit是1
複製程式碼我們來找第一個老鼠#1 來喝g:1:1, 如果他死了，那麼毒就在這一組，也就是說毒的第一個bit是0，否則是1
我們來找第二個老鼠#2 來喝g:2:1, 如果他死了，那麼毒就在這一組，也就是說毒的第二個bit是0，否則是1
所以我們可以看出, 兩隻老鼠就搞定了，我們按照這個思路，可以推到出1000個瓶子只需要10個瓶子, 即 log2 1000， 2的10次方是1024，因此10個老鼠夠了，如果1025個瓶子的話，就需要11個老鼠了。
如果你仔細思考的話，不難看出，我們是在用老鼠喝了水之後的反應（生或死）來進行判斷每一個bit的數字，不管生死，我們總能得出這個bit的值，是0還是1. 因此每使用一隻老鼠我們都將問題規模縮小為原來的1／2. 這是典型的二分法。
這是最優解麼
是的，這是最優解，如果你願意用嚴格的數學來證明的話，你可以試一下數學歸納法。 如果你想感性的判斷一下的話，可以繼續往下讀。
什麼是最優解？ 最優解就是要讓未知世界無機可乘，也就是說在最壞的情況下得到最優（現實世界都是未知的）。上面的例子，不管小老鼠是生還是死，我們都可以將問題規模縮小到1/2. 也就是說最壞的情況就是最好的情況，也就是說沒有最壞情況。
那麼我們是否可以將問題規模縮小的1／3 或者更小呢？
我們可以三分麼
簡單來說，不可以， 因為老鼠只有兩種observable state， 即alive， died. 假如我們有10個小球，其中有一個是異常的，其他9個都是一樣的，我們怎麼才能通過最少的稱量來確定是哪一個異常，是重還是輕？ 這個時候我們就可以使用三分法了，為什麼？因為天平有三個state， 平衡，左傾，右傾，使得我們”有可能“ 將問題規模縮小為1/3， 事實上，確實可以實現將問題規模縮小到1/3。
我會在之後的文章中進行講解小球的問題最優策略， 並解釋為什麼這是最優策略。
Bonus
基於比較的排序都無法逃脫nlogn時間複雜度的命運，這是為什麼？能否利用本篇文章的思想進行解釋？