資料結構 之 演算法時間複雜度

Codeagles發表於2018-07-10
資料結構演算法時間複雜度

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想要學會演算法時間複雜度，那麼就要先弄清楚幾個概念。

  1. 什麼是演算法時間複雜度？
  2. 它有什麼用呢？
  3. 寫法記作 T(n)=O(f(n))
  • T(n):語句執行的總次數關於n的函式
  • n：問題規模
  • f(n):問題規模n的某個函式
  • 用O()來體現演算法時間複雜度的記法

時間複雜度的定義是：如果一個問題的規模是n，解決這一問題所需演算法所需要的時間是n的一個函式T(n)，則T(n)稱為這一演算法的時間複雜度。 所謂演算法時間複雜度就是一句話：**演算法中基本操作的執行次數。**既然是T(n)的函式，隨著模組n的增大，演算法執行的時間的增長率和T(n)的增長率成正比，所以T(n)越小，演算法的時間複雜度越低，演算法的效率越高。

那麼它有什麼用呢？剛才也說了，可以通過f(n)的函式關係來評估演算法的效率問題，說白了就是通過時間複雜度來看演算法的好壞。

值得注意的是：有的演算法中基本操作執行次數不僅僅跟初始輸入的資料規模(n)有關，還和資料本身有關。例如一些排序演算法，同樣n個待處理資料，資料初始有序性不同，基本操作執行次數也會不同。如果演算法中有特殊要求，一般依照使得基本操作執行次數最多的輸入來計算時間複雜度，即將最壞的情況最為演算法時間複雜度的度量。

常見的是按複雜度的大小

常見的時間複雜度
有的人會對log2 n與log n做對比，不理解這裡為什麼不一樣，其實這兩個是一樣的也就是圖中第2個和第4個都是可以替換以2為底的對數形式。

對數時間 主條目：對數時間 若演算法的T(n) = O(log n)，則稱其具有對數時間。由於計算機使用二進位制的記數系統，對數常常以2為底（即log2 n，有時寫作lg n）。然而，由對數的換底公式，loga n和logb n只有一個常數因子不同，這個因子在大O記法中被丟棄。因此記作O（log n），而不論對數的底是多少，是對數時間演算法的標準記法。————維基

##如何計算或者推導時間複雜度呢## 我們來分析一下常規做法：

  1. 確定演算法中的基本操作以及問題的規模。
  2. 根據基本操作執行情況計算出規模n的函式f(n),並確定時間複雜度為T(n)=O( f(n)中增長最快的項/此項的係數 ).

那麼是什麼意思呢?記住這個利器，這三句話即可。

  1. 用常數1替換所有加法常數。
  2. 在修改後的執行次數的函式中，只保留最高階項。
  3. 如果最高階項不是1(例如O(1)),則把該項的係數除掉，得到O

##開始實戰## 這不是演戲，這不是演習，實戰之後就可以完全掌握概念了。 ###第一類 看下面一對程式碼，進行分析：

int i=0,n=100;        /*執行了一次*/
i=n/2+n;              /*執行了一次*/
printf("i=%d",i);     /*執行了一次*/ 
複製程式碼

那麼不難分析出這段程式碼一共執行了3次，那麼時間複雜度就是O(3)，對吧？是不是很簡單，如果真的是這樣，那就錯了，看我們的利器第一句，它是f(n)=3,所以應該把3改為1，即O(1)。那麼看下面這個：

int i=0,n=100;        /*執行了一次*/
i=n/2+n;              /*執行了一次*/
printf("i=%d",i);     /*執行了一次*/ 
printf("i=%d",i);     /*執行了一次*/ 
printf("i=%d",i);     /*執行了一次*/ 
printf("i=%d",i);     /*執行了一次*/ 
printf("i=%d",i);     /*執行了一次*/ 
複製程式碼

這段程式碼一共執行了7次，那麼時間複雜度為多少呢，經過上面的坑，這個應該沒問題了，對，f(n)=7,把7改為1，即O(1)。那麼我們可以得知，這種程式碼是具有恆定的執行時間的，也就是程式碼不會因為問題規模n的變化而發生變化，所以我們都記為O(1). ###第二類 void fun(int n) { int i=1,j=100; while(i<n) { ++j; i+=2; } }

這個顯然n確定以後，迴圈的開始結束都是與i有關的，且每次自增2，假設m次後結束迴圈，那麼i應該等於1+2m，那麼就有n=1+2m，因為我們要是執行次數，也就是解得m=(n-1)/2，此時我們可以看出n/2增長的是最快的項，根據我們的法寶，我們需要把前面的係數除掉即可得到O，即(n/2)/(1/2)=n，得O(n).

有的為了更嚴謹的推導，會對上面的式子進行修改，即1+2m+K=n ，K為一個常數，因為迴圈的結束的時候往往i是稍稍大於n的，所以用一個K來修正這個式子，m=(n-1-K)/2,當然因為K為常數，所以不會影響最終結果，畢竟有一個增長更快的傢伙把它的影響幹掉了。

做到這，是不是感覺很簡單了呢？那麼我們趁熱打鐵進行下一個。

int i=1;
while(i<n)
{
    i=i*2;
}
複製程式碼

推導時間複雜度，最重要的就是要分析演算法的執行次數。那麼這段程式怎麼分析呢？試著自己分析一下，再來看吧。好啦，i起始值為1，每次都乘2，也就意味著每次都會距離n近一些，那麼什麼時候超過n而終止迴圈呢？很簡單就是i22222...*2>n,那麼假設k次之後大於n，就有2^k=n,得出k=logn(上面說了還有些log2 n，都是一樣的，以後都寫最簡形。) 馬上就要成功了，主要是練就分析演算法和推導的思路。再來一個：

int i,j,x=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
    for(j=0;j<n;j++)
        x++;
}
複製程式碼

這段程式碼不用多想就知道，外迴圈執行n次，內迴圈也是執行n，則O(n^2).那麼這段呢？

int i,j,x=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
    for(j=i;j<n;j++)
        x++;
}
複製程式碼

由於當i=0，時內迴圈執行了n次，i=1時，執行了n-1次，...i=n-1時，執行了1次，那麼總次數為 n+(n-1)+(n-2)+..+1=n(n+1)/2,那麼就是n^2/2,即O(n^2).

到這裡基礎的就結束了，我想大家也應該能看懂了吧，當然還有一些比較複雜的演算法，大家可以去自行試試，對於該文章不懂得可以在文章下面留言，看到了我會回覆的。

###最後給大家做個練習吧。

i++;
function(n)  /* 方法function(n)為時間複雜度O(n)*/
int k,m;
while(k<n)
{
    function(n);
    k++;
}
for(k=0;k<n;k++)
{
    for(m=k;m<n;m++)
    {
        /*時間複雜度為O(1)的序列*/
    }
}
複製程式碼

小試牛刀，檢驗成果吧，大家聯絡完這個，函式呼叫的時間複雜度也被你征服了，對於這個題可以在評論區留下你的答案，並和大家分享吧！

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