CF 1823 題解
A A-characteristic
考慮設有 \(x\) 個 \(1\), \(n - x\) 個 \(-1\), 那麼 \(k = \frac{x(x-1)}{2} + \frac{(n-x)(n-x-1)}{2}\), 公式法解二次方程即可.
B Sort with Step
原題約數意味著只能在下標 \(\bmod \ k\) 的等價類下標內排序, 這意味著一個位置滿足 \(a_i\not\equiv i \mod k\) 時需要提前交換, 這樣的位置不存在則直接合法, 恰好為 \(2\) 則需要一次提前交換.
C Strongly Composite
發現如果 \(d \ | \ x\), 並且 \(x,d\) 都合法, 那麼選 \(x\) 不如選 \(d\).
我們注意到, \(p_1^2,p_1p_2p_3\) 這樣的都合法, 因此質因數分解 \(n=\prod_{i=1}^kp_i^{cnt_i}\), 則 \(ans=\sum_{i=1}^k\lfloor\frac{cnt_i}{2}\rfloor + \lfloor\frac{\sum_{i=1}^k(cnt_i \bmod 2)}{3.}\rfloor\)
D Unique Palindromes
注意到以每一個位置為結尾的新迴文串不會超過 \(1\) 個, 這樣就可以判斷是否有解.
首先, \(p_1\rightarrow 1,p_2\rightarrow 2,p_3\rightarrow 3\) 是一定的, 列舉可證. 這樣的話, 我們前三個字固定構造 abc.
剩下的部分, 我們構造 xxxxabcabcabyyyyyycabcabczzzaqqqbc 這樣的東西即可, 其中每一個 x,y,z 都有 \(1\) 的貢獻, 去掉這些之後整個串拼起來形如 abcabcabcabc...
由於約束不太多, 因此每個約束擁有的 x 足夠在 \(26\) 個字母內各不相同.
E Removing Graph
打 sg 表, 即得大小為 \(i\) 的環 \(sg_i=\begin{cases}\lfloor\frac{i}{l}\rfloor & i< l+r \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}\), dfs 搜尋計算異或和即可.
F Random Walk
隨機遊走直接考慮高消, 設 \(f_i\) 表示經過 \(i\) 期望次數, 那麼有:
求解寫樹上高消模板即可.