【題解】CF1997

A

• 首先，插入的字元必須和左右兩邊的字元都不一樣
• 其次，對於插入位置的選擇，顯然最好插在兩個一樣的字元中間，如果沒有一樣的字元，插在最前面即可

B

• 觀察樣例發現題目中要求的位置就在樣例中
• 手玩一下，嘗試改變樣例裡那個形狀，發現改變任何一個格子都不滿足題意，所以得出結論：題目要求的位置當且僅當六個格子形如

...
*.*

• 直接列舉每個位置即可

C

• 首先，左括號為1，右括號為 -1，合法括號串顯然滿足字首和非負
• 在奇數位置上，字首和總是二的倍數
• 如果要儘量縮小匹配括號之間的距離，顯然能早放右括號就早放右括號
• 如果某個奇數位置的字首和是 0，顯然只能放左括號
• 否則，一定會放右括號，這樣做一定沒有後效性：因為如果放的話，字首和最少是 2，一定可以支援連續放兩個右括號，然後就到下一個奇數位置了

D

• 注意到 \(u\) 可以取到的最大值與子樹內的最小值有關，考慮樹形 DP
• 設 \(f_u\) 表示 以 \(u\) 為根的子樹內最小值的最大值
• 容易列出轉移：\(f_u=min(min_{v\in u}(f_v),\frac {min_{v\in u}(f_v)-a[u]}{2}+a[u])\)
• 對於葉子：\(f_u=a_u\)
• 對於根：\(f_u=a_u+min_{v\in u}(f_v)\)

E

• 容易發現：對於一個怪物，k 越大，越容易蘸豆，k 越小，越不容易蘸豆
• 觀察詢問的形式，大膽猜想回復詢問是 \(O(1)\) 的；而我們對於每個怪物 \(i\)，要計算出：k 至少為多少才能與這個怪物蘸豆
• 考慮二分：設當前二分的值為 \(k\)，則不與當前怪物蘸豆的充要條件是：\(k\times a_i<=在第 i 個怪物之前蘸豆的總次數\)
• 注意到 \(在第i個怪物之前的蘸豆總次數\) 難以快速求出，但注意到，我們在計算到 \(i\) 時，已經算出了與前 \(i-1\) 個怪蘸豆所需的最小 \(k\)，於是我們可以使用樹狀陣列快速求出 \(在第i個怪物之前的蘸豆總次數\)
• 時間複雜度 \(O(n\log^2{n})\)