【題解】CF2031

A

• tag：簽到題
• 注意到定住一個值後，左邊的值全都得改，右邊的值也全都得改
• 注意到，定住的越多，需要改的就越少
• 所以開桶記一下哪個值最多就行

B

• tag：詐騙詐騙簽到題
• 讀完題容易產生 naive 結論：當且僅當錯位的兩個地方相鄰可以修復，其餘情況全部無法修復
• 感覺真不了一點，於是找三個數 ABC 來手模一下
• 發現這個結論好像是真的，交一發
• 過了，那就真了吧

C

• tag：究極神迷構造題
• 注意到如果是偶數直接 11 22 33 44 55 66 就好了
• 接下來討論奇數
• 注意如果是奇數，必然至少存在一個數出現了奇數次
• 所以必然存在三個點 \(A,B,C\) 使得 \(|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2\)
• 注意到最小的滿足 \(a^2+b^2=c^2\) 的正整數三元組是 \((3,4,5)\)
• 考慮如何構造：
  • 1 10 26 放一個數
  • 23 27 放一個數
  • 24 25 放一個數
  • 其餘地方兩兩一組放即可
• 顯然小於 27 的奇數無解

D

• tag：好題

Sol 1 並查集

• 首先注意到正著跳和反著跳是互逆的，所以我們可以看成只有正或只有反，然後連無向邊
• 考慮並查集
• 顯然，對於每個 \(i\) 都需要向它前面的比它高的點連邊，時間複雜度 \(O(n^2)\)，不可接受
• 考慮最佳化
• 用一個 pq 維護 \(i\) 之前比 \(i\) 還高的點，鍵是高度，連一個 pop 一個，並查集同時維護最高高度，離開 \(i\) 時將 \(i\) 和 \(i\) 能到達的最高高度壓入 pq 即可
• 顯然對於每個 \(i\)，最多進出 pq 一次，所以複雜度 \(O(n\log n)\)

Sol 2 Clever 做法

• 注意到從一個點開始可能先往後再往前，順序處理比較麻煩。
• 我們考慮最開始可以較為簡單求出答案的點，容易發現 \(a_i\) 最大的點往後的點肯定跳到這個點上。
• 於是每次求出答案未確定的點中 \(a_i\) 最大的點。如果它能跳到 \(j\) 且 \(j\) 的答案已求出，答案 \(ans_i=ans_j\) (我們是從大往小列舉，先求出的答案肯定大)。 再讓它後面所有沒求出答案的 \(j\) 答案為 \(ans_i\) 。
• 非常優美，時間複雜度 \(O(n)\)

E

• tag：好題
• 根據直覺考慮樹形 dp
• \(f_{u}\) 表示子樹 \(u\) 可滿足同構所需最小完美二叉樹深度
• 考慮轉移：
  • 考慮沒有兒子：由於這道題的深度是 0-index，直接返回即可
  • 考慮只有一個兒子：\(f_{u}=f_{v}+1\)
  • 考慮有兩個兒子：\(f_{u}=\max(f_{v})+1\)
  • 考慮有好多好多兒子：顯然必須逐個合併，考慮合併順序
    • 顯然先合小的更優，於是每個點開 pq 即可
• 答案即為 \(f_{1}\)