問題背景
迷宮問題是一個經典的演演算法問題，目標是找到從迷宮的起點到終點的最短路徑，在程式中可以簡單的抽象成一個M*N的二維陣列矩陣，然後我們需要從這個二維矩陣中找到從起點到終點的最短路徑。其中，通常使用 0 表示可行走的路，用 1 表示障礙物，起點和終點分別標記為 S 和 E。例如，下圖是一個簡單的迷宮問題：
0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0
S 0 0 0 E 0在這個迷宮中，數字 0 表示可行走的路，數字 1 表示障礙物，S 表示起點，E 表示終點。
應用場景
迷宮問題在現實生活中有很多實際應用例子：
- 機器人導航：在機器人導航中，機器人需要根據感測器獲取的資訊來規劃路徑，從起點到終點。這個過程可以使用迷宮問題的演演算法來完成，如使用 A* 演演算法來找到最短路徑。
- 遊戲設計：迷宮問題可以應用於各種型別的遊戲中，如謎題解決遊戲和角色扮演遊戲。在這些遊戲中，玩家需要找到一條從起點到終點的路徑，同時避免遇到障礙物或危險。
- 自動駕駛：在自動駕駛汽車中，汽車需要遵循交通規則、避免障礙物並找到最短路徑。這也可以使用迷宮問題的演演算法來完成，如使用 A* 演演算法來找到最短路徑。
- 網路路由：網路路由器需要在各種網路拓撲中尋找最佳路徑，以確保資料包在網路中傳輸時儘可能快速和可靠。這也可以使用迷宮問題的演演算法來完成，如使用 A* 演演算法來找到最短路徑。
- 地圖應用：在地圖應用中，使用者需要根據起點和終點尋找最佳路徑。這可以使用迷宮問題的演演算法來完成，如使用 A* 演演算法來找到最短路徑。
常用演演算法
求解迷宮問題的演演算法有多種，其中最常見的是深度優先搜尋（DFS）演演算法、廣度優先搜尋（BFS）演演算法和A*搜尋演演算法。本文將分別介紹這兩種演演算法的實現方式及其優缺點。
深度優先搜尋（DFS）演演算法
深度優先搜尋（DFS）是一種基於棧或遞迴的搜尋演演算法，從起點開始，不斷地往深處遍歷，直到找到終點或無法繼續往下搜尋。在迷宮問題中，DFS 會先選取一個方向往前走，直到無法前進為止，然後返回上一個節點，嘗試其他方向。
DFS 的核心思想是回溯，即在走到死路時，返回上一個節點，從而探索其他方向。具體實現上，可以使用遞迴函式或棧來維護待訪問的節點。
import java.util.*;
public class MazeSolver {
// 迷宮的行數和列數
static final int ROW = 5;
static final int COL = 5;
// 迷宮的地圖，0 表示可以透過的路，1 表示牆壁，2 表示已經走過的路
static int[][] map = new int[][]{
{0, 1, 1, 1, 1},
{0, 0, 0, 1, 1},
{1, 1, 0, 0, 1},
{1, 1, 1, 0, 1},
{1, 1, 1, 0, 0}
};
// 迷宮的起點和終點
static final int startX = 0;
static final int startY = 0;
static final int endX = 4;
static final int endY = 4;
// 儲存搜尋路徑
static List<int[]> path = new ArrayList<>();
// DFS 搜尋迷宮
public static void dfs(int x, int y) {
// 如果當前位置是終點，則搜尋完成
if (x == endX && y == endY) {
// 列印搜尋路徑
for (int[] p : path) {
System.out.print("(" + p[0] + "," + p[1] + ") ");
}
System.out.println("(" + x + "," + y + ")");
return;
}
// 標記當前位置已經走過
map[x][y] = 2;
// 將當前位置加入搜尋路徑
path.add(new int[]{x, y});
// 分別搜尋當前位置的上下左右四個方向
if (x > 0 && map[x-1][y] == 0) {
dfs(x-1, y);
}
if (y > 0 && map[x][y-1] == 0) {
dfs(x, y-1);
}
if (x < ROW-1 && map[x+1][y] == 0) {
dfs(x+1, y);
}
if (y < COL-1 && map[x][y+1] == 0) {
dfs(x, y+1);
}
// 如果沒有找到終點，將當前位置從搜尋路徑中移除
path.remove(path.size()-1);
}
public static void main(String[] args) {
dfs(startX, startY);
}
}
深度優先搜尋（DFS）的優點：
- 實現簡單，不需要額外的資料結構。
- 對於有解的迷宮問題，深度優先搜尋能夠保證找到一條路徑，且路徑長度可能會比廣度優先搜尋短。
- 在空間較大的情況下，深度優先搜尋可以佔用更少的記憶體，因為它只需要維護當前路徑上的節點，而不需要維護所有已訪問過的節點。
深度優先搜尋的缺點：
- 搜尋的路徑可能會非常複雜，可能會陷入死迴圈或長時間不停的搜尋。
- 對於無解的迷宮問題，深度優先搜尋可能會無限地搜尋下去，直到棧溢位或程式崩潰。
- 當要求找到最短路徑時，深度優先搜尋不能保證一定能找到最短路徑，因為它是基於回溯的思想，可能會跳過一些更短的路徑。
- 當搜尋樹的深度很大時，深度優先搜尋可能會導致棧溢位的問題。
廣度優先搜尋（BFS）
廣度優先搜尋（BFS）演演算法是一種樸素的搜尋演演算法，它從起點開始逐步擴充套件搜尋範圍，直到找到目標節點為止。在搜尋過程中，BFS 會先訪問起點周圍的所有節點，再訪問這些節點周圍的所有節點，以此類推。因此，BFS 可以保證找到的路徑是最短的，但它的時間複雜度可能很高，尤其是在搜尋空間較大時。
下面是一個基於 BFS 演演算法的示例程式碼，用於在一個圖中搜尋從起點到目標節點的最短路徑：
import java.util.*;
public class MazeSolver {
public static void main(String[] args) {
// 定義迷宮
int[][] maze = {
{0, 1, 0, 0, 0},
{0, 1, 0, 1, 0},
{0, 0, 0, 0, 0},
{0, 1, 1, 1, 0},
{0, 0, 0, 1, 0}
};
// 尋找路徑
List<int[]> path = solve(maze, new int[]{0, 0}, new int[]{4, 2});
// 輸出路徑
if (path != null) {
for (int[] point : path) {
System.out.println(Arrays.toString(point));
}
} else {
System.out.println("No solution found.");
}
}
public static List<int[]> solve(int[][] maze, int[] start, int[] end) {
// 定義寬度優先搜尋所需的佇列
Queue<int[]> queue = new LinkedList<>();
queue.add(start);
// 定義路徑跟蹤陣列
Map<int[], int[]> trace = new HashMap<>();
trace.put(start, null);
// 定義已經訪問過的點集合
Set<int[]> visited = new HashSet<>();
visited.add(start);
// 定義方向陣列，分別表示上下左右四個方向
int[][] directions = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};
// 開始搜尋
while (!queue.isEmpty()) {
// 取出佇列中的下一個點
int[] current = queue.poll();
// 如果當前點是終點，返回路徑
if (Arrays.equals(current, end)) {
List<int[]> path = new ArrayList<>();
while (current != null) {
path.add(current);
current = trace.get(current);
}
Collections.reverse(path);
return path;
}
// 遍歷四個方向
for (int[] direction : directions) {
int[] neighbor = new int[]{current[0] + direction[0], current[1] + direction[1]};
// 如果鄰居在迷宮範圍內，且沒有被訪問過，且不是牆，加入佇列和訪問集合，並記錄路徑
if (neighbor[0] >= 0 && neighbor[0] < maze.length &&
neighbor[1] >= 0 && neighbor[1] < maze[0].length &&
!visited.contains(neighbor) && maze[neighbor[0]][neighbor[1]] == 0) {
queue.add(neighbor);
visited.add(neighbor);
trace.put(neighbor, current);
}
}
}
// 如果搜尋結束還沒有找到路徑，返回null
return null;
}
}
廣度優先搜尋（BFS）的優點：
- 找到的第一條路徑一定是最短的，因為BFS是按照層級逐一搜尋的，一旦搜尋到目標狀態，那麼就可以保證這是最短路徑。
- 可以搜尋出所有可行的路徑，而不是僅僅找到一條路徑。這對於一些需要獲取所有解的問題非常有用。
- 在搜尋樹比較小的情況下，BFS的搜尋速度非常快。
廣度優先搜尋（BFS）的缺點：
- 空間佔用比較大。在搜尋過程中，需要將所有已經擴充套件出的狀態都儲存在記憶體中，所以BFS需要較多的記憶體空間，尤其是在搜尋樹比較大的情況下。
- 在搜尋樹比較大的情況下，BFS的時間複雜度很高。當搜尋樹非常大時，BFS需要搜尋大量的狀態，因此時間複雜度會非常高。
- 不能處理無限狀態空間問題，即狀態空間無限大的問題，例如無限大的圖。
A*搜尋演演算法
A搜尋演演算法是一種啟發式搜尋演演算法，它在廣度優先搜尋的基礎上引入了啟發函式，以更快速、更準確地搜尋最短路徑。啟發函式可以評估每個搜尋節點到目標節點的估計距離，從而最佳化搜尋方向。具體實現時，可以用一個優先佇列來儲存搜尋節點，並按照優先順序依次取出每個節點進行搜尋。其中，優先順序的計算方式為 f(n) = g(n) + h(n)，其中 g(n) 表示從起點到節點 n 的實際距離，h(n) 表示從節點 n 到終點的估計距離。使用啟發函式的最佳化能夠大幅減少搜尋時間。
下面是一個基於 A* 演演算法的示例程式碼
import java.util.*;
public class AStar {
public static int[] solve(int[][] maze, int[] start, int[] end) {
int n = maze.length;
int m = maze[0].length;
// 將起點加入 openSet 集合中
PriorityQueue<int[]> openSet = new PriorityQueue<>((a, b) -> (a[2] + a[3]) - (b[2] + b[3]));
openSet.offer(new int[]{start[0], start[1], 0, estimateDistance(start, end)});
// 記錄每個點是否已經被訪問過
Set<Integer> visited = new HashSet<>();
visited.add(start[0] * m + start[1]);
while (!openSet.isEmpty()) {
// 取出 f 值最小的點
int[] cur = openSet.poll();
int x = cur[0];
int y = cur[1];
// 如果該點是終點，則返回路徑
if (x == end[0] && y == end[1]) {
return new int[]{cur[2], cur[3]};
}
// 將該點的所有鄰居加入 openSet 中
int[][] neighbors = new int[][]{{x - 1, y}, {x + 1, y}, {x, y - 1}, {x, y + 1}};
for (int[] neighbor : neighbors) {
int nx = neighbor[0];
int ny = neighbor[1];
// 判斷鄰居是否越界或者是障礙物
if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m || maze[nx][ny] == 1) {
continue;
}
// 如果鄰居已經被訪問過，則跳過
int code = nx * m + ny;
if (visited.contains(code)) {
continue;
}
// 計算鄰居的 g 值和 h 值
int g = cur[2] + 1;
int h = estimateDistance(neighbor, end);
// 將鄰居加入 openSet 中
openSet.offer(new int[]{nx, ny, g, h});
visited.add(code);
}
}
// 如果 openSet 集合為空，則說明不存在可行路徑
return new int[]{-1, -1};
}
// 計算估價函式值（曼哈頓距離）
private static int estimateDistance(int[] start, int[] end) {
return Math.abs(start[0] - end[0]) + Math.abs(start[1] - end[1]);
}
public static void main(String[] args) {
// 定義迷宮
int[][] maze = {
{0, 1, 0, 0, 0},
{0, 1, 0, 1, 0},
{0, 0, 0, 0, 0},
{0, 1, 1, 1, 0},
{0, 0, 0, 1, 0}
};
// 尋找路徑
int[] path = solve(maze, new int[]{0, 0}, new int[]{4, 2});
// 輸出路徑
if (path != null) {
System.out.println(Arrays.toString(path));
} else {
System.out.println("No solution found.");
}
solve(maze, maze[1], maze[3]);
}
}
A*演演算法的優點：
- A*演演算法綜合考慮了啟發式函式和實際代價，因此搜尋效率比較高。
- A*演演算法可以找到最短路徑，並且能夠保證找到的第一條路徑一定是最優路徑。
A*演演算法的缺點：
- 啟發式函式的選擇非常關鍵，不同的啟發式函式會導致不同的搜尋結果。如果啟發式函式不夠準確，那麼搜尋結果可能不是最優的。
- A演演算法需要儲存OPEN表和CLOSED表，佔用的記憶體比較大。如果狀態空間比較大，那麼A演演算法的效率會變得非常低。
- A*演演算法的實現比較複雜，需要對每個狀態進行估價和排序，因此演演算法的實現難度比較大。
總之，A*演演算法是一種非常實用的搜尋演演算法，在路徑規劃、遊戲AI等領域得到廣泛應用。在實際應用中，我們需要根據具體問題的特點選擇合適的啟發式函式，並且需要考慮演演算法的記憶體佔用和搜尋效率。
總結
我們總結一下，在迷宮問題中，深度優先搜尋（DFS）、廣度優先搜尋（BFS）和 A* 都可以用來尋找最短路徑或最優解。
DFS 適用於以下情況：
- 空間要求低，不需要儲存整個搜尋樹，只需要儲存當前路徑；
- 所有解的路徑長度差別不大，或者只需要找到其中一個解；
- 迷宮比較大，而且有很多死路，採用 DFS 可以快速探索大面積空間。
BFS 適用於以下情況：
- 需要找到最短路徑或最優解；
- 迷宮中大部分路徑長度差別不大；
- 可以承受較大的空間複雜度，需要儲存整個搜尋樹。
A* 演演算法適用於以下情況：
- 需要找到最短路徑或最優解；
- 需要考慮迷宮中的障礙物，即尋找一條避開障礙物的路徑；
- 迷宮比較大，但是大多數路徑都很長，採用 BFS 不現實；
- 啟發函式選取得當的話，搜尋效率很高。
總體來說，DFS 適合探索大面積空間，BFS 適合尋找最短路徑，A* 演演算法綜合了 BFS 和啟發式搜尋的優點，更適合尋找最短路徑且迷宮中有障礙物的情況。