【ACM演算法競賽日常訓練】DAY10題解與分析【月月給華華出題】【華華給月月出題】| 篩法 | 尤拉函式 | 數論

Eriktse0發表於2023-04-04
ACM演算法函式

DAY10共2題：

  • 月月給華華出題

  • 華華給月月出題

難度較大。

? 作者：Eriktse
? 簡介：211計算機在讀，現役ACM銀牌選手?力爭以通俗易懂的方式講解演演算法！❤️歡迎關注我，一起交流C++/Python演演算法。（優質好文持續更新中……）?
? 原文連結（閱讀原文獲得更好閱讀體驗）：https://www.eriktse.com/algorithm/1104.html

在做今天這兩道題之前，強烈建議先看這篇文章《【ACM數論】和式變換技術，也許是最好的講解之一》。

月月給華華出題

題目傳送門：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/23048

當N = n時，我們可以得到以下式子：

\[ans_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{i}{gcd(i, n)} \]

根據我們的經驗，在gcd不方便確定的情況下，可以新增列舉變數，即新增一個d變數來列舉gcd(i, n)，如下：

\[\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}[gcd(i, n) = d]\frac{i}{d} \]

接下來令i = id，得到下面的式子：

\[\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i[gcd(i,\frac{n}{d})=1] \]

不妨將n/d直接變為d，這個對結果是沒有影響的，因為列舉的都是n的因子罷了。

\[\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{d}i[gcd(i,d)=1] \]

後面這一坨的結果是：

\[\sum_{i=1}^{d}i[gcd(i,d)=1] = \frac{d \times \phi(d)}{2} \]

簡單證明：我們知道gcd(i, n) = gcd(n - i, n)，所以和n的gcd相等的數總是對稱出現的，因此若gcd(i, n) = 1，則必然有gcd(n - i, i) = 1，也就是說和n互質的所有數的平均值為n/2，將平均值乘上個數phi[n]即為“與n互質的所有正整數之和”。
注意當n=1時，應當特殊處理，因為此時n - 1 = 1會產生計數缺失。
而對於n > 1的情況，如果要滿足n - i = i則n為偶數，而此時n / 2必然不與n互質，所以計數是準確的。

於是最終結果為：

\[ans_n=\sum_{d|n}\frac{d \times \phi(d)}{2} \]

用尤拉篩篩出phi（尤拉函式），然後列舉d，向d的所有倍數加上貢獻即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 9;
int phi[N], ans[N];
//phi[n] = n * ((p1 - 1) / p1) * ((p2 - 1) / p2) * ... * ((pk - 1) / pk),其中p為不同的質數
void init(int n)
{
    bitset<N> vis;
    vector<int> prim;
    //初始化vis[1]和phi[1]
    vis[1] = true, phi[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n; ++ i)
    {
        //當i沒被篩掉，說明是一個質數，加入prim陣列中並設定phi[i] = i - 1
        if(!vis[i])prim.push_back(i), phi[i] = i - 1;
        
        //下面這個迴圈在更新i * prim[j]的一些屬性
        for(int j = 0;j < prim.size() && i * prim[j] <= n; ++ j)
        {
            vis[i * prim[j]] = true;//乘上了一個質數，那麼i * prim[j]肯定不是質數了
            
            if(i % prim[j] == 0)
            {
                //此時i裡面已經包含prim[j]，說明i * prim[j]沒有出現新的質因子
                phi[i * prim[j]] = phi[i] * prim[j];
                break;
            }
            phi[i * prim[j]] = phi[i] * (prim[j] - 1);
        }
        
    }
}

signed main()
{
    int n;scanf("%lld", &n);
    init(n);
    for(int i = 2;i <= n; ++ i)//列舉所有d = i
    {
        for(int j = 1;i * j <= n; ++ j)//列舉所有d的倍數 i * j
        {
            ans[i * j] += i * phi[i] / 2;
        }
    }
    //這裡答案 + 1是加上當d = 1時的結果
    for(int i = 1;i <= n; ++ i)printf("%lld\n", 1 + ans[i]);
    
    return 0;
}

華華給月月出題

題目傳送門：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/23047

這題的式子不用推，重點在於如何快速求到:

\[i^n,i \in [1, n] \]

如果用快速冪的話，總複雜度達到了O(nlogn)，這道題的n <= 1.3e7，卡著不讓直接用快速冪。

我們思考一個問題，如果將一個數字a質因數分解，我們可以不可以利用其質因子的n次方來求得a的n次方呢？

如果你知道i^n是一個積性函式，這一段就可以跳過了。

假設a由m種質數相乘得到：

\[a=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times ... \times p_m^{k_m} \]

那麼有：

\[a^n=(p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times ... \times p_n^{k_n})^n \]

把n放進去：

\[a^n=p_1^{nk_1}\times p_2^{nk_2}\times ... \times p_n^{nk_n} \]

然後做一點點變化:

\[a^n=(p_1^{n})^{k_1}\times (p_2^{n})^{k_2}\times ... \times (p_n^{n})^{k_n} \]

也就是說我們的a^n可以透過p1^n, p2^n...轉移過來。

接下來寫個篩法即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1.3e7 + 9, p = 1e9 + 7;
int a[N];

int qmi(int a, int b)
{
    int res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)res = res * a % p;
        a = a * a % p, b >>= 1;
    }
    return res;
}

void init(int n)
{
    bitset<N> vis;
    vector<int> prim;
    vis[1] = 1, a[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n; ++ i)
    {
        //當i沒被篩掉，說明是一個質數
        if(!vis[i])prim.push_back(i), a[i] = qmi(i, n);
        
        //下面這個迴圈在更新i * prim[j]的一些屬性
        for(int j = 0;j < prim.size() && i * prim[j] <= n; ++ j)
        {
            vis[i * prim[j]] = true;//乘上了一個質數，那麼i * prim[j]肯定不是質數了
            //新增一個質因子prim[j]，那麼只需乘上prim[j]^n即可
            a[i * prim[j]] = a[i] * a[prim[j]] % p;//不要忘記取模            
            //i^n篩法無需分類
            if(i % prim[j] == 0)break;
        }
        
    }
}

signed main()
{
    int n;scanf("%lld", &n);
    init(n);
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n; ++ i)ans ^= a[i];
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

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