DAY4共2題：
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樹（組合數學）
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子序列（dp，數學）
? 作者：Eriktse
? 簡介：19歲，211計算機在讀，現役ACM銀牌選手?力爭以通俗易懂的方式講解演算法！❤️歡迎關注我，一起交流C++/Python演算法。（優質好文持續更新中……）?
? 原文連結（閱讀原文獲得更好閱讀體驗）：https://www.eriktse.com/algorithm/1095.html
樹
題目傳送門：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/13611
透過觀察條件“一個染色方案是合法的，當且僅當對於所有相同顏色的點對(x,y)，x到y的路徑上的所有點的顏色都要與x和y相同。”我們可以發現，當且僅當染色的點可以全部連通時可以滿足條件。
所以現在問題是如何將n個點劃分為k塊。
我們可以發現在樹上，任意刪除一條邊都會使得聯通塊個數 + 1。
其實塊數只要<= k即可，因為我們可以有一些顏色不使用。所以要劃分為i塊，只需要從n - 1條邊中任選i - 1條進行刪除即可，方案數是C(n - 1, i - 1)。
假設現在我們得到了i (i <= k)個聯通塊，需要將i種顏色染上去，首先需要C(k, i)種方法取出顏色，然後A(i, i)一個全排列將顏色染上去。
所以答案公式如下：
$$ans=\sum_{i=1}^{k}C(n - 1, i - 1)C(k, i)i!$$
可能涉及一些快速冪、乘法逆元的知識，需要自行學習。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 350, p = 1e9 + 7;
int fac[maxn];
int qmi(int a, int b)
{
int res = 1;
while(b)
{
if(b & 1)res = res * a % p;
a = a * a % p, b >>= 1;
}
return res;
}
int inv(int x){return qmi(x, p - 2);}
int C(int n, int m)
{
if(n < m || n < 0 || m < 0)return 0;
return fac[n] * inv(fac[n - m] * fac[m] % p) % p;
}
signed main()
{
int n, k;scanf("%lld %lld", &n, &k);
fac[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)//分為i塊
{
int tmp = C(n - 1, i - 1) * C(k, i) % p * fac[i] % p;
ans = (ans + tmp) % p;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
子序列
題目傳送門：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/17065
小技巧：觀察資料範圍，比較小，應該可以容納O(n^3)的複雜度，所以可以大膽考慮dp。
首先定義狀態dp[i][j]表示以第i個元素結尾，且長度為j的序列的個數。
再考慮一下轉移，題目中的條件可以進行一些轉換：
$${a_{p_i}}^{p_j} < {a_{p_j}}^{p_i}$$
等價於：
$$ \frac{log(a_{p_i})}{p_i} < \frac{log(a_{p_j})}{p_j} $$
我們可以記：
$$ b_i = \frac{log(a_{p_i})}{p_i} $$
也就是說對於選出的子序列中的每一個元素，他們滿足一個偏序關係，只要我的b[j] > b[i]，那麼b[j]將會大於所有的b[k] (k < i)。
所以我們可以考慮以下的轉移：
$$dp_{i, j} = \sum_{k=1}^{i - 1}[b_i > b_k] \times dp_{k, j - 1}$$
考慮初始化，當最後一個元素確定，序列長度為1(j = 1)時，方案僅有1種。
最後的答案是將所有情況加起來（注意取模，不過這道題資料較弱，不取模也可以過）。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 109, p = 1e9 + 7;
//dp[i][j]表示以第i個元素結尾，長度為j的方案數
int a[maxn], dp[maxn][maxn];
signed main()
{
int n;scanf("%lld", &n);
for(int i = 1;i <= n; ++ i)scanf("%lld", a + i);
for(int i = 1;i <= n; ++ i)
{
dp[i][1] = 1;
for(int j = 1;j <= i; ++ j)
{
for(int k = 1; k < i; ++ k)
{
if(log(a[k]) / k < log(a[i]) / i)
{
dp[i][j] += dp[k][j - 1];
dp[i][j] %= p;
}
}
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)
for(int j = 1;j <= i; ++ j)
{
ans = (ans + dp[i][j]) % p;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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