張量（tensor）
這一術語最初是用來描述彈性介質各點應力狀態的，後來發展成為力學和物理學的一個有力數學工具，目前力學方面的理論性文獻都不同程度地這用了這一工具
由座標原點和三條不共面的標架直線構成的座標系稱為直線座標系，如果三標架直線上的單位尺度相同，稱為笛卡爾座標系，否則稱為仿射座標系。
笛卡爾座標系又分為笛卡爾直角座標系和斜角座標系：三標架直線互相垂直時為笛卡爾直角座標系，否則為笛卡爾斜角座標系。
我們通常習慣用 x, y, z 三個座標值來定義笛卡爾直角座標系中的一點，以後我們將用\(x_1,x_2,x_3\) 來分別代表 x, y, z，並簡記為\(x_i\) (i = 1, 2, 3)。
類似地用\(\overline{i}_j\) ( j = 1, 2, 3)表示三個座標的單位向量。下標 i , j ( j = 1, 2, 3)稱為自由指標，它可用其它字母替代。無限定時，下標的取值均是1、2和3。
2.1.1 求和約定
在同一項中，如果某個下標重複出現兩次，就表示要對這個指標從 1 到 3 求和，例如算式中有一項
\[A_iB_i
\]
標 i 出現了兩次，則應理解為：
\[A_{i}B_{i}= A_{1}B_{1} +A_{2}B_{2} +A_{3}B_{3}\\=\sum_{i=1}^3A_iB_i
\]
又如\(C_{mn}D_n\)，意義為
\[C_{mn}D_{n} = C_{m1}D_{1} +C_{m2}D_{2} +C_{m3}D_{3}\\m=1,2,3
\]
上式中 m 為自由指標，將其完全展開，則等同於下式：
\[C_{1n}D_n=C_{11}D_1+C_{12}D_2+C_{13}D_3\\C_{2n}D_n=C_{21}D_1+C_{22}D_2+C_{23}D_3\\C_{3n}D_n=C_{31}D_1+C_{32}D_2+C_{33}D_3
\]
以後我們稱重複出現的下標 i 為約定求和指標，約定求和指標在展開式中不再出現，因此也稱為“啞指標”。
啞指標的字母可以更換成其它字母而不影響結果。
2.1.2 克羅內克(Kronecker)符號
\[\delta_{ij}=\quad\begin{cases}0,&\text{當 }i\neq j\\1,&\text{當 }i=j\end{cases}
\]
稱為克羅內克(Kronecker)符號。
\[\delta_{ij}=\delta_{ji}
\]
採用克羅內克(Kronecker)符號和約定求和方法，可使複雜公式的書寫和運算簡潔化。例如單位矩陣可表示成：
\[\begin{aligned}
I=&\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)&
=
\left(\begin{array}
{ccc}\delta_{11}&\delta_{12}&\delta_{13}\\\delta_{21}&\delta_{22}&\delta_{23}\\\delta_{31}&\delta_{32}&\delta_{33}\end{array}\right)\\
&=\left(\begin{array}{c}\delta_{ij}\end{array}\right)\end{aligned}
\]
又在笛卡爾直角座標系中，兩單位向量的點乘可表示成：
\[\vec{i}_i\cdot\vec{i}_j=\delta_{ij}
\]
2.1.3 偏導數的下標記法
以後我們將記 \(\frac {\partial f }{\partial x_i}\) 為\(f_{,i},\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_i}\)記為 \(f_{,ij}\), 下標中的逗號即為導數記號。例如
\[\begin{aligned}
&\frac{\partial B_{ij}}{\partial x_k}\Rightarrow B_{ij,k} \\
&A_{i,i}=\frac{\partial A_i}{\partial x_i}=\frac{\partial A_1}{\partial x_1}+\frac{\partial A_2}{\partial x_2}+\frac{\partial A_3}{\partial x_3}
\end{aligned}
\]
2.1.4 置換符號
\[\in_{ijk}
\]
置換符號又稱 Permutation 符號，其定義為：
\(\in_{ijk}=1\),當\(i,j,k\)為1，2,3的迴圈序列；
\(\in_{ijk}=-1\),當\(i,j,k\) 為1，2,3的逆迴圈序列；
\(\in_{ijk}=0\) ,當\(i,j,k\)中有兩個賦值相同時。
三個數字按下圖(a)順時針轉時,有\1,2,3; 2,3,1; 3,1,2; \這種序列即稱為迴圈序列,也稱偶排列。
·三個數字按下圖(b)逆時針轉時,則為逆循\環序列, 也稱奇排列,這時有\1,3,2;3,2,1;2,1,3。
利用置換符號可簡化複雜表示式的書寫，如可用置換符號表示三階行列式的值：
\[\begin{aligned}&\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{32}a_{21}\\&-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{33}a_{12}a_{21}\\&=\epsilon_{ijk} a_{i1}a_{j2}a_{k3}=\epsilon_{ijk} a_{1i}a_{2j}a_{3k}\\
\\
& i,j,k=1,2,3\end{aligned}
\]
練習：
1.化簡
\[\begin{aligned}&\delta_{ij}\delta_{jk}=?\quad\delta_{im}B_{mj}=?\\&\delta_{ij}\delta_{ij}=?\quad\delta_{im}A_{m}=?\\&\delta_{ii}=?\end{aligned}
\]
-
將下式寫成工程常用形式
\[\varepsilon_{ij}=\frac12(u_{i,j}+u_{j,i})
\]
-
將下式寫成工程常用形式
\[\begin{gathered}
\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2G}\sigma_{ij}-\frac{3\mu}{E}\sigma^{a}\delta_{ij} \\
\text{上式中符號定義:}\quad G=\frac{E}{2(1+\mu)} \\
\sigma^a=\frac{1}{3}\sigma_{ii}=\frac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})=\frac{1}{3}(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z})
\end{gathered}
\]
練習答案
--
練習答案
\[\begin{aligned}
&\delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{i1}\delta_{1k}+\delta_{i2}\delta_{2k}+\delta_{i3}\delta_{3k}=\delta_{ik} \\
&\delta_{ij}\delta_{ij}=\delta_{1j}\delta_{1j}+\delta_{2j}\delta_{2j}+\delta_{3j}\delta_{3j} \\
&=\delta_{11}\delta_{11}+\delta_{12}\delta_{12}+\delta_{13}\delta_{13} \\
&+\delta_{21}\delta_{21}+\delta_{22}\delta_{22}+\delta_{23}\delta_{23} \\
&+\delta_{31}\delta_{31}+\delta_{32}\delta_{32}+\delta_{33}\delta_{33}=3 \\
&\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=3
\end{aligned}
\]
\[$$\begin{aligned}
&\delta_{im}A_{m} =\delta_{i1}A_1+\delta_{i2}A_2+\delta_{i3}A_3 \\
&=A_i \\
&\delta_{im}B_{mj} =\delta_{i1}B_{1j}+\delta_{i2}B_{2j}+\delta_{i3}B_{3j} \\
&=B_{1j}\text{ ,}B_{2j}\text{ ,}B_{3j} \\
&=B_{ij}
\end{aligned}
\]
\[\begin{gathered}
\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) \\
i=1,j=1 \\
\varepsilon_{11}=\frac{1}{2}(u_{1,1}+u_{1,1})=u_{1,1} \\
\varepsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x}
\end{gathered}
\]
\[\begin{aligned}
&&&\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) \\
&i=1,j=2 \\
&\varepsilon_{12}=\frac{1}{2}(u_{1,2}+u_{2,1}) \\
&\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial\nu}{\partial x}) \\
&&& \gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial\nu}{\partial x}
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
&&& \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) \\
&i=1,j=3 \\
&\varepsilon_{13}=\frac{1}{2}(u_{1,3}+u_{3,1}) \\
&\varepsilon_{xz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}) \\
&&&\gamma_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}
\end{aligned}
\]
- 將下式寫成工程常用形式
\[\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,j})\quad\text{的工程常用形式}\\\varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}\quad\varepsilon_{y}=\frac{\partial\nu}{\partial y}\quad\varepsilon_{z}=\frac{\partial w}{\partial z}\\\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial\nu}{\partial x})=\frac{1}{2}\gamma_{xy}\\\varepsilon_{yz}=\frac{1}{2} (\frac{\partial\nu}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})=\frac{1}{2} \gamma_{yz}\\\varepsilon_{zx}=\frac{1}{2} (\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z})=\frac{1}{2} \gamma_{zx}
\]
\[\begin{gathered}
\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2G}\sigma_{ij}-\frac{3\mu}{E}\sigma^{a}\delta_{ij} \\
\text{上式中符號定義:}\quad G=\frac{E}{2(1+\mu)} \\
\sigma^{a}=\frac{1}{3}\sigma_{ii}=\frac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})=\frac{1}{3}(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z})
\end{gathered}
\]
\[\begin{aligned}
&i=1,j=1& \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2G}\sigma_{ij}-\frac{3\mu}{E}\sigma^{a}\delta_{ij} \\
&\varepsilon_{11}=\frac{1}{2G}\sigma_{11}-\frac{3\mu}{E}\cdot\frac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}) \\
&\varepsilon_{x}=\frac{1+\mu}{E}\sigma_{x}-\frac{\mu}{E}\cdot(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}) \\
&\text{1} \\
&\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}[\sigma_{x}-\mu\cdot(\sigma_{y}+\sigma_{z})] \\
&&\text{1} \\
&&\sigma^{a}=\frac{1}{3}\sigma_{ii}=\frac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})=\frac{1}{3}(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z})
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}&\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}[\sigma_{x}-\mu(\sigma_{y}+\sigma_{z})]\\&\varepsilon_{y}=\frac{1}{E}[\sigma_{y}-\mu(\sigma_{z}+\sigma_{x})]\\&\varepsilon_{z}=\frac{1}{E}[\sigma_{z}-\mu(\sigma_{x}+\sigma_{y})]\\&\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2G}\tau_{xy}\\&\varepsilon_{yz}=\frac{1}{2G}\tau_{yz}\\&\varepsilon_{zy}=\frac{1}{2G}\tau_{zx}\end{aligned}
\]
2.2 張量的定義
張量 是由一組元素組成的一個整體，它在座標變換時滿足一定的關係。為便於理解張量的定義，先介紹座標
軸旋轉時空間一點的座標變換關係。
圖中兩個座標系原點相同，設原座標系為 \(Qx_1x_2x_3\),新座標系為 \(Qx'_1x'_2x'_3\),
舊座標軸的夾角餘弦
2.2 張量的定義
張量 是由一組元素組成的一個整體，它在座標變換時滿足一定的關係。為便於理解張量的定義，先介紹座標
軸旋轉時空間一點的座標變換關係。
圖中兩個座標系原點相同，設原座標系為 \(Qx_1x_2x_3\),新座標系為 \(Qx'_1x'_2x'_3\),
舊座標軸的夾角餘弦
\[\begin{array}
{|c|c|c|c|c|}
\hline &x_1&x_2&x_3\\
\hline x'_1&\beta_{11}&\beta_{12}&\beta_{13}\\
\hline x'_2&\beta_{21}&\beta_{22}&\beta_{23}\\
\hline x'_3&\beta_{31}&\beta_{32}&\beta_{33}\\
\hline
\end{array}
\]
2.2 張量的定義
張量 是由一組元素組成的一個整體，它在座標變換時滿足一定的關係。為便於理解張量的定義，先介紹座標
軸旋轉時空間一點的座標變換關係。
圖中兩個座標系原點相同，設原座標系為 \(Qx_1x_2x_3\),新座標系為 \(Qx'_1x'_2x'_3\),
舊座標軸的夾角餘弦
研究一向量\(\bar{P}\) ,其始端在原點，終端在舊系中的座標為 \(x_i\) ,在新系中的座標為\(x_i^\prime\)。
我們有
\[\begin{aligned}&x_{1}^{\prime}=\beta_{11}x_{1}+\beta_{12}x_{2}+\beta_{13}x_{3}\\&x_{2}^{\prime}=\beta_{21}x_{1}+\beta_{22}x_{2}+\beta_{23}x_{3}\\&x_{3}^{\prime}=\beta_{31}x_{1}+\beta_{32}x_{2}+\beta_{33}x_{3}\\
\\
&\text{即}x_{i}^{\prime}=\beta_{ij}x_{j}\end{aligned}
\]
反過來也有
\[\begin{aligned}
&x_{1}=\beta_{11}x_{1}^{\prime}+\beta_{21}x_{2}^{\prime}+\beta_{31}x_{3}^{\prime} \\
&x_{2} = \beta_{12}x_{1}^{\prime}+\beta_{22}x_{2}^{\prime}+\beta_{32}x_{3}^{\prime} \\
&x_3 = \beta_{13}x_1^{\prime}+\beta_{23}x_2^{\prime}+\beta_{33}x_3^{\prime} \\
\\
&\textbf{即} \quad x_i=\beta_{ji}x_j^{\prime}
\end{aligned}
\]
它在座標變換時滿足一定的關係 。
\[x_{i}=\beta_{ji}x_{j}^{\prime}\Rightarrow x_{j}=\beta_{kj}x_{k}^{\prime}\\x_{i}^{\prime}=\beta_{ij}x_{j}
\]
\[x'_i=\beta_{ij}x_j=\beta_{ij}\beta_{kj}x'_k
\]
\[\begin{gathered}
x_{i}^{\prime}=\beta_{i1}\beta_{k1}x_{k}^{\prime}+\beta_{i2}\beta_{k2}x_{k}^{\prime}+\beta_{i3}\beta_{k3}x_{k}^{\prime} \\
=\beta_{i1}(\beta_{11}x_{1}^{\prime}+\beta_{21}x_{2}^{\prime}+\beta_{31}x_{3}^{\prime}) \\
+\beta_{i2}(\beta_{12}x_1^{\prime}+\beta_{22}x_2^{\prime}+\beta_{32}x_3^{\prime}) \\
+\beta_{i3}(\beta_{13}x^{\prime}_1+\beta_{23}x^{\prime}_2+\beta_{33}x^{\prime}_3)
\end{gathered}
\]
\[\begin{gathered}
x'_i=\beta_{i1}\beta_{k1}x_{k}^{\prime}+\beta_{i2}\beta_{k2}x_{k}^{\prime}+\beta_{i3}\beta_{k3}x_{k}^{\prime} \\
=\beta_{i1}(\beta_{11}x_1^{\prime}+\beta_{21}x_2^{\prime}+\beta_{31}x_3^{\prime}) \\
+\beta_{i2}(\beta_{12}x^{\prime}_1+\beta_{22}x^{\prime}_2+\beta_{32}x^{\prime}_3) \\
+\beta_{i3}(\beta_{13}x_1^{\prime}+\beta_{23}x_2^{\prime}+\beta_{33}x_3^{\prime}) \\
=(\beta_{i1}\beta_{11}+\beta_{i2}\beta_{12}+\beta_{i3}\beta_{13})x_{1} \\
+(\beta_{i1}\beta_{21}+\beta_{i2}\beta_{22}+\beta_{i3}\beta_{23})x'_2 \\
+(\beta_{i1}\beta_{31}+\beta_{i2}\beta_{32}+\beta_{i3}\beta_{33})x'_3
\end{gathered}
\]
\[\begin{aligned}
&&x_{i}^{\prime}=\beta_{i1}\beta_{11}+\beta_{i2}\beta_{12}+\beta_{i3}\beta_{13})x_{1}^{\prime} \\
&&+(\beta_{i1}\beta_{21}+\beta_{i2}\beta_{22}+\beta_{i3}\beta_{23})x'_2 \\
&& +(\beta_{i1}\beta_{31}+\beta_{i2}\beta_{32}+\beta_{i3}\beta_{33})x'_{3} \\
&i=1: \\
&&\beta_{11}\beta_{11}+\beta_{12}\beta_{12}+\beta_{13}\beta_{13}=\beta_{11}^2+\beta_{12}^2+\beta_{13}^2=1 \\
&&\beta_{11}\beta_{21}+\beta_{12}\beta_{22}+\beta_{13}\beta_{23}=0 \\
&&\beta_{11}\beta_{31}+\beta_{12}\beta_{32}+\beta_{13}\beta_{33}=0 \\
&&\Rightarrow\beta_{ij}\beta_{kj}=\delta_{ik} \\
&類似地,有 \\
&&x_{i}=\beta_{ji}\beta_{jk}x_{k}&&&&& \Rightarrow\beta_{ji}\beta_{jk}=\delta_{ik}
\end{aligned}
\]
2.2.2 張量的定義
張量元素的個數由空間的維數\(N\)及張量的階數 n 決定， 即它等於\(N^n\)個，在笛卡爾座標系中，\(N=3\),下面我們給出 N=3 時各階張量的定義。
1)零階張量
零階張量有\(N^0=3^0=1\)個元素，它是座標變換的不變數，即
\[f^{\prime}(x_1^{\prime},x_2^{\prime},x_3^{\prime})=f(x_1,x_2,x_3)
\]
這實際上是我們熟知的標量，是與座標系無關的量。
- 一階張量
一階張量元素個數為\(N^1=3^1=3\) ,設為\(T_i\) ,當座標軸旋轉時，它的變換規律
滿足：
\[\begin{aligned}T'_i&=\beta_{ij}T_j\\\\\textbf{或}\quad T_i&=\beta_{ji}T'_j\end{aligned}
\]
由定義可知一階張量即我們熟知的 向量
- 二階張量
二階張量元素個數為\(N^2=3^2=9\) ,記為\(T_{ij}\),當座標軸旋轉時，它的變換規律
滿足：
\[T^{\prime}{}_{ij}=\beta_{im}\beta_{jn}T_{mn}\\
\textbf{或}\qquad \qquad \qquad \quad \\
T_{ij}=\beta_{mi}\beta_{nj}T^{\prime}{}_{mn}
\]
我們也可以這樣來理解二階張量變換系數的形成:
也可以這樣來理解二階張量變換系數的形成：有兩個一階張量\(A_i\)和\(B_j\)相乘，用\(A\),每一個分量與\(B_{,}\)每一個分量相乘，共得到 9 個元素 ,用\(T_{ij}\)表示張量\(A_i\)和\(B_j\)相乘的結果有
\[T_{ij}=A_iB_j
\]
寫成矩陣形式便為：
\[\left.\left(T_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccc}A_1B_1&A_1B_2&A_1B_3\\A_2B_1&A_2B_2&A_2B_3\\A_3B_1&A_3B_2&A_3B_3\end{array}\right.\right)
\]
當座標變換時
\[A'_i=\beta_{im}A_m\quad B'_j=\beta_{jn}B_n
\]
所以
\[\begin{aligned}
T_{ij}& =A'_iB'_j=\beta_{im}A_m\beta_{jn}B_n \\
&=\beta_{im}\beta_{jn}A_{m}B_{n} =\beta_{im}\beta_{jn}T_{mn}
\end{aligned}
\]
二個一階張量作上述張量乘積的運算也稱為 並矢
- n 階張量
n 階張量有 \(N^n=3^n\)個分量，可用 \(T_{i_1i_2...i_n}\)表示，它隨座標的變換規律為：
\[T_{i_1i_2...i_n}=\beta_{i_1j_1}\beta_{i_2j_2}...\beta_{i_nj_n}T_{j_1j_2...j_n}\\
\text{或} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
T_{i_1i_2...i_n}=\beta_{j_1i_1}\beta_{j_2i_2}...\beta_{j_ni_n}T_{j_1j_2...j_n}
\]
n 階張量變換系數的來源也可按張量乘積的定義來理解 ，張量乘積的一般定義在下一節介紹。
為簡單計，\(T_{i_1 i_2...i_n}\) 和 \(T^{\prime}_{i_1i_2...i_n}\)後面有時會記為\(T_{i_n}\) 和 \(T^{\prime}_{i_n}\)
3.2 張量的代數運算
下面內容適用於各階張量，現以 黑體字 籠統地表示張量，而不涉及其具體階次，同時介紹時略去證明過程。
-
張量的恆等
如果兩個同階張量的每個對應分量都相等，則稱這兩個張量相等。
根據張量的定義可知，在某一座標系下，若兩個張量相等，則變換到任一座標系下這兩個張量也必相等，即若有\(A=B\),則必有\(A’=B’\)。
-
張量的加減
只有同階張量才可以相加減，加減結果仍是同階張量。若A、B是 n 階張量，令其加減結果為C ，
則C也是 n 階張量。
由張量的恆等與加減規則我們可得如下結論：若在某一笛卡爾直角座標系中建立了張量方程
\[A-B=0
\]
則當座標軸旋轉時總有
\[A’-B’=0
\]
這表明張量方程在座標變換時其形式不變.
進一步的研究表明上述結論對任意座標系都是正確的，張量這一數學工具的重要性正在於此，它體現了 這 樣的事實: :
任何物理規律都是客觀存在的，與座標系的選擇無關。
分量方程 卻不具有這一性質，在不同座標系( ( 如笛卡爾直角座標系、柱座標系、球座標系等) )中建立的 分量方程各不相同。
比如，彈性力學中以分量表示的平衡方程 :
笛卡爾直角座標系下
\[\frac{\partial\sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}+F_{x}=0 (\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}})\\\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}+F_{y}=0 (\rho\frac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}})\\\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{z}}{\partial z}+F_{z}=0 (\rho\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}})
\]
彈性力學中以分量表示的平衡方程 :
柱坐系下
\[\begin{gathered}
\frac{\partial\sigma_r}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial\tau_{\theta r}}{\partial\theta}+\frac{\partial\tau_{zr}}{\partial z}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}r+F_r=0 (=\rho\frac{\partial^2u_r}{\partial t^2}) \\
\frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial\sigma_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial\tau_{z\theta}}{\partial z}+\frac{2\tau_{r\theta}}{r}+F_\theta=0 (=\rho\frac{\partial^2u_\theta}{\partial t^2}) \\
\frac{\partial\tau_{rz}}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial\tau_{\theta z}}{\partial\theta}+\frac{\partial\sigma_z}{\partial z}+\frac{\tau_{rz}}r+F_z=0 (=\rho\frac{\partial^2u_z}{\partial t^2})
\end{gathered}
\]
彈性力學中以分量表示的平衡方程 :
球座標系下
\[\begin{aligned}
&\frac{\partial\sigma_{r}}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\varphi}\frac{\partial\tau_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{\varphi r}}{\partial\varphi}+\frac{2\sigma_{r}-(\sigma_{\theta}+\sigma_{\varphi})+\tau_{\varphi r}\cot\varphi}{r}+F_{r}=0 (=\rho\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}) \\
&\frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial r}+\frac1{r\sin\varphi}\frac{\partial\sigma_\theta}{\partial\theta}+\frac1r\frac{\partial\tau_{\varphi\theta}}{\partial\varphi}+\frac{3\tau_{r\theta}+2\tau_{\varphi\theta}\cot\varphi}r+F_\theta=0 (=\rho\frac{\partial^2u_\theta}{\partial t^2}) \\
&\frac{\partial\tau_{r\varphi}}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\varphi}\frac{\partial\tau_{\theta\varphi}}{\partial\theta}+\frac{1}{r}\frac{\partial\sigma_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{3\tau_{r\varphi}+(\sigma_{\varphi}-\sigma_{\theta})\cot\varphi}{r}+F_{\varphi}=0 (=\rho\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial t^{2}})
\end{aligned}
\]
平衡方程在不同座標系中建立的分量方程各不相同
張量的乘積
若A是 m 階張量，B是 n 階張量，則我們用AB表示它們的乘積，其定義為：用前一個張量的每一個分量與後 一個張量的每一個分量相乘，共得\(3^{m}\cdot3^{n}=3^{m+n}\)它們構成的是m+n階張量。
AB各元素指標的書寫規定為：先寫前一個張量的指標，保持其順序不變，再寫第二張量的指標，也保持其順序不變。
例：\(A\)、\(B\)均是二階張量，其分量分別為 \(A_{ij}\)、\(B_{mn}\) , 則\(A\)與\(B\)的乘積為四階張量，用\(T\) 表示，\(T=AB\), \(T\)的分量指標應書寫成：
\[T_{ijmn}=A_{ij}B_{mn}
\]
\[B_{i_1i_2...i_n}=\quad\lambda A_{i_1i_2...i_n}
\]
\(B_{i_1i_2...i_n}\) 改成一個新的張量
\[ A_{ijj}=A_{i11}+A_{i22}+A_{i33}
\]
\(A_{ijj}\)只有三個元素，為一階張量。
由張量的縮並運算定義可知， 縮並運算必需指明是對哪兩個指標進行的 ，否則縮並運算的結果不是唯一的。
- 張量的內積
對張量A、B的乘積再進行一次縮並的聯合運算，稱為張量A、B的內積，記為：
\[C=A\cdot B
\]
同一個張量對不同指標進行縮並，結果不同。
為了使張量內積的結果唯一，對張量內積中的縮並運算有如下進一步的規定：縮並的兩個指標為前一個張量 的最後一個指標和後一個張量的第一個指標。
內積一般情況下不服從交換律，即
\[A\cdot B\neq B\cdot A
\]
特殊情況如 B 是二階張量，且\(B_{ij}=B_{ji}\)時交換律成立。
\(B_{ij}=B_{ji}\)時，稱張量 B 為二階對稱張量
\(B_{ij}=-B_{ji}\)時，稱張量 B 為二階反對稱張量
一個二階張量一定可以唯一地分解成一個二階對稱張量和一個二階反對稱張量
2.5 張量的微分運算
在笛卡爾直角座標系下，設張量分量在所定義的區域中是連續可微的，則張量的微分運算等於張量分量的直接 微分
例如對於座標變換 \(x_i=\beta_{ij}x_j^{\prime}\) 有:
\[\frac{\partial x_i}{\partial x^{\prime}_j}=\beta_{ij}
\]
參考文獻