1 定義
笛卡爾樹是一種二叉樹，每一個節點由二元組 \((k,w)\) 組成。要求 \(k\) 滿足二叉搜尋樹的性質，\(w\) 滿足堆的性質。
當 \(k,w\) 都確定，且 \(k,w\) 互不相同時，笛卡爾樹的結構是唯一的，如圖：
看到這個定義，會發現與 Treap 十分相似。
實際上，Treap 就是一種特殊的笛卡爾樹。
通常情況下，將下標作為 \(k\)（如上圖）。
2 建樹
2.1 過程
首先由定義可以直接得出一個 \(O(n\log n)\) 演算法，但是重點不在於此。
笛卡爾樹有線性的構造方式。
我們先將所有元素按照 \(k\) 排序，那麼這樣我們按順序插入的時候，一定是插入到樹的右鏈（即從根節點不斷走向右兒子所形成的鏈）。
那麼此時我們觀察右鏈，假設當前節點是 \(p\)，那麼現在要滿足的就是堆的性質。我們從右鏈末端開始比較，當出現第一個 \(x\) 滿足 \(x_w<p_w\) 時，就將 \(p\) 接到 \(x\) 右兒子上，而 \(x\) 原先的右兒子變為 \(p\) 的左兒子。
如果沒有找到這個 \(x\)，那麼 \(p\) 就成為了根節點。
現在我們考慮維護右鏈，因為維護右鏈的過程中就可以建好樹。顯然右鏈的 \(w\) 是要滿足單調遞增的。那麼插入元素的過程中維護一個單調遞增的結構，這顯然是單調棧。
2.2 程式碼
有了上面的分析，程式碼就不難了：
int s[Maxn], top;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int k = top;
while(k && w[s[k]] > w[i]) k--;
if(k) rs[s[k]] = i;
if(k < top) ls[i] = s[k + 1];
s[++k] = i;
top = k;
}
3 用途
笛卡爾樹適合解決與最值相關的問題，不過先給出一些性質（以小根堆為例）：
- 以 \(u\) 為根的子樹是一段連續的區間，且區間最小值就是 \(u_w\)
- 區間上 \([l,r]\) 的最小值就是 \(\text{Lca}(l,r)_w\)。
- 若 \(y\) 隨機，則樹高期望為 \(\log\)。（這樣做就是 Treap 了）。
下面舉一例：
3.1 [例 1] 最大子矩形問題
形式化題意：給定陣列 \(a\)，求 \(\max\{\min\limits_{i=l}^r(a_i)\times (r-l+1)\},1\le l\le r\le n\)。
這道題是經典的單調棧題，不過也可以用笛卡爾樹。
具體的，我們以下表為 \(k\)，值為 \(w\) 建立笛卡爾樹。接下來我們列舉最小值，然後找最小值為它的最長區間。
由上面的性質 \(1\) 得，最長區間就是子樹大小，於是兩者相乘取最大值即可。