**「數論難題解答」**
山東省蘭陵縣磨山鎮華巖寺二村 程中戰
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1.       求證：丟番圖方程a^2+b^2=2c^2 有正整數解，其中，a、b、c為互質的奇數。
分析：若a^2+b^2=c^2, c^2加係數2，而a^2、b^2的係數不變，又因為2不是一個平方數，所以，在這種情況下，原不定方程無正整數解。反之，若a^2+b^2≠c^2時，原方程則有正整數解。
解：設2c^2=2（u+v）^2=2u^2+4uv+2v^2=（2u）^2+2×2uv+v^2+v^2-2u^2=（2u+v）^2+（v^2-2u^2）
令v^2-2u^2=k^2 即v^2-k^2=2u^2  ，（v+k）（v-k）=2u^2 
令v+k=u^2 ，v-k=2  解這個方程組得k=（u^2/2）-1 , v=（u^2/2）+1
令u=2n 得 k=2n^2-1 ，v=2n^2+1 代入上面的式子得
a=2u+v=2×2n+2n^2+1=2n^2+4n+1 ，b=k=2n^2-1 ，c=u+v==2n^2+2n+1
化簡得，a=2（n+1）^2-1 ，b=2n^2-1 ，c=（n+1）^2+n^2
其中，n為任意正整數，a、b、c為互質的奇數，且a、b不同時是平方數。
證明：用較大的數除以較小的數，有餘數則為互質，
a/b=[2（n+1）^2-1] /(2n^2-1)=1……（4n+2）互質
c/b=[（n+1）^2+n^2] /(2n^2-1)=1……（2n+2）互質
a/c=[2（n+1）^2-1]/ [（n+1）^2+n^2]=1……2n互質
可見，a、b、c兩兩互質；
兩個相鄰平方數之差是，（n+1）^2-n^2=2n+1
兩個相差2的正整數的平方數之差是，（n+1）^2-（n-1）^2=4n
假設a、b都是平方數，則a-b=2（n+1）^2-1 -2n^2+1=4n+2
由此可見，a、b不同時是平方數。
2.       求證：丟番圖方程a^4+b^4=2c^2 無正整數解，其中，a、b、為互質的奇數，c為奇數。
證明：已經證明丟番圖方程a^2+b^2=2c^2 有正整數解，此等式兩邊同×a^2，
得a^4+a^2b^2=2（ac）^2 因為a、b是互質的奇數，又不能同時是平方數
所以，a^2b^2不是一個奇數的四次冪。故，丟番圖方程a^4+b^4=2c^2 無正整數解。
再者，若a^2b^2是一個四次冪m^4，則，a、m就有公約數（為a的質因子），與題設矛盾。
同理有：
丟番圖方程a^6+b^6=2c^2 無正整數解，其中，a、b、為互質的奇數，c為奇數。
丟番圖方程a^8+b^8=2c^2 無正整數解，其中，a、b、為互質的奇數，c為奇數。
……………………………………………………………………………………
丟番圖方程a^(2n)+b^(2n)=2c^2 無正整數解，其中，a、b、為互質的奇數，c為奇數，n＞1。
3.       求證：丟番圖方程a^4+b^4=2^(2n+1)c^2 無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b
證明：已經證明丟番圖方程a^2+b^2=2c^2 有正整數解，
把這個式子恆等變形，a^2+b^2=2[(2^n c)/2^n]^2 即a^2+b^2=2^(2n+1)（c/2^n）^2
因為c為奇數，所以c/2^n是既約分數，故上式無正整數解。
有a^2+b^2≠2^(2n+1)c^2………………………………………………（1）
（1）式兩邊同×a^2得   a^4+a^2b^2≠2^(2n+1)（ac）^2……………………（2）
無論a^2b^2是否為一個四次冪，（2）式仍然是一個不等式，所以，a^4+b^4=2^(2n+1)c^2無正整數解。
同理有：
a^6+b^6=2^(2n+1)c^2無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b
a^8+b^8=2^(2n+1)c^2無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b
……………………………………………………………………
a^(2n)+b^(2n)=2^(2n+1)c^2無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b，n＞1。
4.       求證：丟番圖方程（2^na）^4+（2^nb）^4=2^(2n+1)（2^nc）^2 無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b
證明：
已經證明丟番圖方程a^4+b^4=2c^2無正整數解，其中，a、b、為互質的奇數，c為奇數。
即a^4+b^4≠2c^2…………………………………………………………（1）
把（1）式兩邊同×2^(4n)得（2^na）^4+（2^nb）^4≠2^(2n+1)（2^nc）^2    證畢
同理有：
（2^na）^6+（2^nb）^6=2^(2n+1)（2^nc）^2無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b
（2^na）^8+（2^nb）^8=2^(2n+1)（2^nc）^2無正整數
1.       求證：丟番圖方程（2^na）^4+（2^nb）^4=2^(2n+1)（2^nc）^2 無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b
證明：
已經證明丟番圖方程a^4+b^4=2c^2無正整數解，其中，a、b、為互質的奇數，c為奇數。
即a^4+b^4≠2c^2…………………………………………………………（1）
把（1）式兩邊同×2^(4n)得（2^na）^4+（2^nb）^4≠2^(2n+1)（2^nc）^2    證畢
同理有：
（2^na）^6+（2^nb）^6=2^(2n+1)（2^nc）^2無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b
（2^na）^8+（2^nb）^8=2^(2n+1)（2^nc）^2無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b
…………………………………………………………………………………………
（2^na）^(2n)+（2^nb）^(2n)=2^(2n+1)（2^nc）^2無正整數解，其中，a、b、c都是奇數，a≠b，n＞1。
                                                  2022-12-6
注：
（一）   丟番圖方程a^2+b^2=2c^2 有正整數解:
 a=2（n+1）^2-1
b=2n^2-1
c=（n+1）^2+n^2
其中，n為任意正整數，a、b、c為互質的奇數，且a、b不同時是平方數；
（二）丟番圖方程a^2+b^2=c^2有正整數解，其中，a、b、c為互質的正整數，
a=（m^2-n^2）/2
b=mn
c=（m^2+n^2）/2
其中，m、n為互質的奇數，m＞n
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作者：程中戰(山東省蘭陵縣)
來稿日期：2022年12月6日
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