來自加州大學、特拉維夫大學的研究者成功的解決了圖中連線數為奇數的頂點的比例問題，證明了每個圖都包含一個常比例子圖，其中所有的頂點都有奇數度。
幾十年來，科學家一直在爭論一個簡單的問題，這個問題是關於圖及其連線的數量問題。現在，用一個數學本科生可能會想到的論點，來自加州大學歐文校區 Asaf Ferber 、特拉維夫大學的 Michael Krivelevich 終於在今年 3 月發表的一篇文章中給出了答案。
論文地址：https://arxiv.org/pdf/2009.05495.pdf
「至少對我來說，這是一個令人驚訝的發現，這種巧妙但基本的論點組合就足夠了，」來自海法大學數學家 Yair Caro 說道。
圖是由邊（線）連線的頂點（點）的集合。經過數百年的研究，數學家仍在研究其基本特性。一個是涉及圖頂點的「奇偶性」，即它們是否與奇數或偶數個其他頂點相連。
數學家們一直在探索：圖頂點的「奇偶性」問題
在過去的一個世紀裡，數學家們已經證明了許多與奇偶性有關的基本結果。在 1960 年代，匈牙利數學家 Tibor Gallai 證明了始終可以將圖的頂點分為兩組或子圖，這樣所有的頂點在每個子圖具有偶數個連線（忽視外連線頂點組）——一個被稱為「度（degree）」的屬性。
大約在同一時間裡，Tibor Gallai 觀察到始終可以將圖中的頂點分為兩個子圖，這樣一個圖中的頂點都是偶數度，而另一個圖中的頂點都是奇數度。
然而，最終的選擇是不可能的：因為無法將每個圖都分成兩個子圖，以使每個子圖中的所有頂點都具有奇數度。之所以知道這一點，是因為在 1730 年，也許是歷史上最最多產的數學家 Leonhard Euler 證明，如果一組頂點都具有奇數度，則該組頂點數必須是偶數。如果將一個圖的頂點分成兩個子圖，並且每個子圖中的所有頂點都具有奇數度，則每個子圖必須具有偶數個頂點，因此，原始的未拆分圖也只能具有偶數個頂點（因為兩個偶數之和總是偶數）。也就是說，如果原始圖的頂點數為奇數，則無法進行拆分。
鑑於無法將一個圖分成奇數度的兩個子圖，因此下一個問題變為：在一個圖中，可以確定的奇數度頂點的最大比例是多少？
「你不能採用奇數 - 奇數（odd-odd），因此你需要退而求其次，也就是說，對大部分的頂點做奇數，」Krivelevich 表示。
特拉維夫大學的 Michael Krivelevich。
為了進一步說明這個問題，示例如下：一個具有三個相連頂點的圖（三角形），在隔離任意兩個頂點後，發現它們彼此之間共享奇數個連線。換句話說，可以確定包含總頂點數三分之二的三角形子圖，其中所有頂點都是奇數度。
大約 50 年前，數學家預測，對於給定大小的圖，總會有一個全奇數度的子圖包含整個圖中至少恆定比例的頂點數，例如 1/2、1/8、32/1,007。無論圖具有 20 個頂點還是 20 萬億個，子圖的大小應始終滿足或超過相同的比率。
「關鍵是，原始的圖可能會越來越大，而我們仍然能夠維持著相同的比例，」Krivelevich 說道。
但是多年來，沒有人能找到如此具體的比率。20 世紀 90 年代初，Caro 發現了並非恆定而是隨圖的大小而波動的比率。他證明了如果圖中有 N 個頂點，則存在這樣一個子圖，其中至少包含 1/sqrt(N) 個奇數度頂點。兩年後，Alex Scott 將結果提升到了 1/logN，這比 Caro 的結果更接近恆定比率，但 Scott 並不特別滿意。
Alexander Scott。
「這個結果沒有到達真正的真理，」現為牛津大學教授的 Scott 說。
跨越 30 年，才有了新的進展
直到 30 年後，在 2020 年 2 月，這個問題才有了新的進展，Ferber 的前研究生顧問 Krivelevich 前往加利福尼亞與他會面。
加州大學歐文分校的 Asaf Ferber。
在 Ferber 的一位同事問他一個與切線相關的問題後，Ferber 重新審視了有關奇數圖的問題，並與 Krivelevich 在接下來六個月內共同制定策略。
經過制定，基本的方法是將圖分為三類：其中有許多很少連線其他點的頂點的「稀疏」圖；其中一個頂點連線到許多其他頂點（相對於圖中的頂點總數）的「密集」圖；以及沒有以上兩圖特質的「中間」圖。Ferber 表示，90 年代的工作使稀疏圖和密集圖都很好理解，最困難的部分是瞭解「中間」圖。
於是他們試圖證明如果圖既不稀疏也不稠密，則必須具有另一種品質：許多小的子圖自身密集（儘管相對於整個圖而言不密集），並且彼此完全不連線。證明許多小的密集子圖沒有相互連線，這是專案中最棘手的部分之一。
Ferber 說：「要證明它們之間沒有邊緣是相當痛苦的。」
Ferber 和 Krivelevich 確定可以將這些許多小而密集的子圖連線在一起，以建立一個更大的子圖，其中所有的頂點都有奇數度。現在已經涵蓋了所有的可能性：稀疏圖，密集圖和介於兩者之間的圖，它們都必須包含一定最小尺寸的奇數子圖。
在 2020 年的錯誤開端之後，Scott 讓他們意識到了能夠規避的那些嚴重錯誤。2021 年 3 月下旬，Ferber 和 Krivelevich 釋出了最終結果。他們證明，每張圖都包含一個子圖，這個子圖至少包含 1/10,000 個頂點，這些頂點之間的連線數都是奇數。最後是常數分數。
目前至少有兩條路可以走。首先是嘗試提高分數，連線數必須為奇數的頂點的比例很可能大於 1/10,000。第二個問題涉及一系列相關的問題，這些問題在這項工作之後煥發了新的生機。
數學家希望瞭解具有其他共同數值屬性的頂點集合的大小，例如有一大組頂點，沒有一個頂點能被 3 或 5 整除。目前還不清楚這些情況是否也可以用簡單分數來表徵，但令人鼓舞的是，奇數度頂點的比例可以。
Scott 表示：「證據表明，你也應該期待一個不錯的答案。」
參考連結：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-answer-old-question-about-odd-graphs-20210519/