為什麼需要演算法複雜度分析？
首先，這和研究資料結構和演算法的目的有關——“快”而“省”的解決問題。那麼如何衡量演算法的效能呢？就需要演算法複雜度分析。
其次，除了演算法複雜度分析，還有一種方法可以衡量複雜度，那就是“事後統計法”，即直接執行程式，統計需要的時間和空間。但是，這種方法有兩個問題：
1）結果非常依賴於測試環境。比如，用 Core i3 和用 Core i8 執行程式所需的時間是不同的；
2）結果受測試規模的影響特別大。比如，對有序陣列進行排序的時間比對逆序陣列排序的時間短；對於小規模資料而言，插入排序所需時間比快速排序要短。
所以，就需要有一種不用具體測試資料，也能估計演算法執行效率的方法，就是演算法複雜度分析，包括時間、空間複雜度分析。
大 O 複雜度表示法
大 O 複雜度表示法可以歸納成下面一句話：
所有程式碼的執行時間
T(n)與每行程式碼的執行次數 n 成正比。
即 T(n) = O(f(n))。其中，f(n) 表示程式碼的執行次數之和。大 O 符號（Big O notation）是用於描述函式漸進行為的數學符號，它代表“order of...”（...階）。
例如，對於程式碼：
function foo (n) {
var i = 0;
var j = 0;
for (; i < n; i++) {
j += i;
}
}
複製程式碼假設每行程式碼的執行時間一樣，為 unit_time。則第 2、3 行執行時間均為 1 unit_time，第 4、5 行程式碼執行時間均為 n unit_time，整個函式的執行時間 T(n) = (2n + 2) * unit_time。用大 O 複雜度表示法表示即為 T(n) = O(2n + 2)。
注意，大 O 時間複雜度並不具體表示程式碼真正的執行時間，而是表示程式碼執行時間隨資料規模增長的變化趨勢。所以，它也叫漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。
當 n 很大時，不左右增長趨勢的低階、常量、係數均可忽略。所以，上面例子中的時間複雜度為 O(n)。
時間複雜度分析
時間複雜度分析有下面幾個原則：
1）只關注迴圈執行次數最多的一段程式碼；
2）加法原則：總複雜度等於量級最大的那段程式碼的複雜度。用公式表示即為：T1(n) = O(f(m))，T2(n) = O(g(n))，T1(n) + T2(m) = O(max(f(n), g(m)))；
3）乘法原則：巢狀程式碼的複雜度等於巢狀內外程式碼複雜度的乘機。用公式表示即為：T1(n) = O(f(m))，T2(n) = O(g(n))，T1(n) * T2(m) = O(f(n) * g(m))
常見的時間複雜度有以下幾種：
1）常量階：O(1)
2）對數階：O(logn)
3）線性階：O(n)
4）線性對數階：O(nlogn)
5）平方階：O(n ^ 2)
6）指數階：O(2 ^ n)
7）階乘階：O(n!)
其中，1）-5）為多項式量級；6）、7）為非多項式量級，所對應的演算法問題被稱為非確定多項式問題（NP 問題，Non-Deterministic Polynomial）。
空間複雜度分析
空間複雜度全稱為漸進空間複雜度（asymptostic space complexity）。空間複雜度較為簡單，常見的空間複雜度為 O(1)，O(n) 和 O(n ^ 2)。
最後，用幾種複雜度的座標圖作為結尾：
本文是《資料結構與演算法之美》的讀書筆記
首發於微信公眾號《程式碼寫完了》