前言
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你好，我是彤哥，一個每天爬二十六層樓還不忘讀原始碼的硬核男人。
上一節，我們一起學習了表示複雜度的幾個符號，我們說，通常使用大O來表示演算法的複雜度，不僅合理，而且書寫方便。
那麼，使用大O表示法評估演算法的複雜度有沒有什麼套路呢？以及常見的複雜度有哪些呢？
本節，我們就來解決這兩個問題。
前情回顧
在正式講解套路之前，我們先回憶一下前面幾節講到的內容。
在第2節，我們學習了漸近分析法，將演算法的複雜度與輸入規模掛鉤，隨著輸入規模的增大，演算法執行的時間將呈現一種什麼樣的趨勢，將這個趨勢用函式表示，再去除低階項和常數項，就得到了演算法的時間複雜度。
在第3節，我們分別從最壞、平均、最好三種情況來分析了演算法的複雜度，得出結論，一般使用最壞情況來評估演算法的複雜度。
在第4節，我們通過動態陣列的插入元素及經典快速排序的時間複雜度，解釋了有的時候不能使用最壞情況來評估演算法的複雜度。
在第5節，我們從讀音、數學、通俗理解三個方面分析了各種表示演算法複雜度的符號，得出結論還是使用大O比較香，大O代表了演算法的上界，它與前面講到的最壞情況往往是對應的。
所以，這裡所說的套路也是針對大部分情況，也就是最壞情況，對於一些個例，比如經典快排，我們雖然也是使用大O表示他們的複雜度，但是，其實是一種均攤的複雜度。
好了，讓我們看看計算演算法複雜度的套路到底是什麼吧。
套路
我將計算演算法複雜度的套路歸納為以下五步：
- 明確輸入規模n；
- 考慮最壞情況或均攤情況，如果最壞情況為個例，那就是均攤；
- 計算演算法執行的次數與n的關係，並用函式表示出來；
- 去除低階項；
- 去除常數項；
比如，對於在陣列中查詢指定元素的操作：
- 輸入規模為陣列的長度n；
- 考慮最壞情況為目標元素不在陣列中；
- 演算法的執行次數為遍歷所有陣列元素，也就是n次，用函式表示f(n) = n；
- 去除低階項，沒有低階項，還是n；
- 去除常數項，沒有常數項，還是n；
所以，在陣列中查詢指定元素的時間複雜度為O(n)。
OK，使用這種方式可以很快的計算出演算法的複雜度，也不需要進行額外的計算，非常快捷高效。
常見的複雜度
上面我們說了，複雜度的計算就是計算與輸入規模n的關係，所以，我們想想數學中關於n的函式就能得出常見的複雜度了，我繪製了一張表格：
| 與n的關係 | 英文釋義 | 複雜度 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 常數（不相關） | Constant | O(1) | 陣列按索引查詢元素 |
| 對數相關 | Logarithmic | O(logn) | 二分查詢 |
| 線性相關 | Linear | O(n) | 遍歷陣列的元素 |
| 超線性相關 | Superlinear | O(nlogn) | 歸併排序、堆排序 |
| 多項式相關 | Polynomial | O(n^c) | 氣泡排序、插入排序、選擇排序 |
| 指數相關 | Exponential | O(c^n) | 漢諾塔 |
| 階乘相關 | Factorial | O(n!) | 行列式展開 |
| n的n次方 | 無 | O(n^n) | 不知道有沒有這種演算法 |
在這張表中，複雜度是依次增加的，可以看到常數複雜度O(1)無疑是最好的，讓我們用一張圖來直觀感受下：
後記
本節，我們一起學習了複雜度分析的套路以及常見的複雜度，到目前為止，我們不管是舉例還是講解基本上都在說時間複雜度。
那麼，空間複雜度又是什麼呢？空間與時間之間如何權衡呢？
下一節，我們接著聊。
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