資料結構和演算法本身解決的是“快”和“省”的問題，即如何讓程式碼執行的更快，如何讓程式碼更省儲存空間。 所以複雜度分析是整個演算法學習的精髓。
大O複雜度表示法
推倒大O階
演算法的執行效率，就是演算法程式碼執行的時間。來估算一下下面程式碼的執行時間。
function sum(n) {
let total = 0;
for (let i=0;i < n;i++) {
total = total + i
}
return total;
}
複製程式碼假設每行程式碼執行的時間都一樣，都是unit_time。
第 2 行程式碼需要 1 個unit_time 的執行時間，第 3、4 行都執行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的執行時間，所以這段程式碼總的執行時間就是 (2n+1)*unit_time。
可以看出，程式碼的執行時間T(n) 與每行程式碼的執行次數成正比
再來推導下面程式碼的執行時間：
function sum(n) {
let total = 0;
for (let i=1;i<=n;i++) {
for (let j=1;j<=n;j++) {
total = total + i * j
}
}
return total
}
複製程式碼同樣第2行需要 1個 unit_time 的執行時間，第3行程式碼迴圈執行了n遍，需要n * unit_time的執行時間，第4、5行執行了n² 遍，所以需要(2n²+n+1)*unit_time 的執行時間。
儘管我們不知道unit_time的具體值，但通過兩段程式碼的執行時間推導過程，我們得到一個非常重要的規律，那就是，所有程式碼的執行時間T(n) 與每行程式碼的執行次數n成正比。
T(n) = O(f(n))
複製程式碼T(n) 代表程式碼執行的時間，n表示資料規模的大小；f(n)表示每行程式碼執行的次數總和。公式中的O，表示程式碼的執行時間T(n) 與f(n) 表示式成正比。
大O時間複雜度實際上並不具體表示程式碼真正的執行時間，而是表示***程式碼執行時間隨資料規模增加變化的趨勢***，所以，也叫做漸進時間複雜度。
當n很大時，公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增長的趨勢，所以可以忽略。我們只需要記錄一個最大量級就可以了，所以上面兩段程式碼就可以計作：T(n) = O(n) 和 T(n) = O(n²)。
時間複雜度分析方法
- 只關注迴圈次數最多的一段程式碼
- 加法法則：總複雜度等於量級最大的那段程式碼的複雜度
- 乘法法則：巢狀程式碼的複雜度等於巢狀內外程式碼複雜度的乘積
常見的時間複雜度分析
常數階 O(1)
O(1)只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並不是指只執行了一行程式碼，比如下面這段程式碼，即使有3行，他的時間複雜度也是O(1),而不是O(3)。
let i = 2;
let j = 5;
let sun = i + j;
複製程式碼一般情況下，只要演算法中不存在迴圈語句、遞迴語句，即便有成千上萬行程式碼，其時間複雜度也是O(1)。
線性階 O(n)
下面這段程式碼的時間複雜度為O(n)，因為迴圈體中的程式碼需要執行n次。
let sum = 0;
for (let i=0;i<n;i++){
sum = sum +i
}
複製程式碼我們要分析演算法的複雜度，關鍵就是要分析迴圈結構的執行情況。上面程式碼因為迴圈體中程式碼需要執行n次，所以時間複雜度為O(n)。
對數階 O(logn) O(nlogn)
對數階時間複雜度非常常見。
let i = 1;
while (i <= n) {
i = i * 2
}
複製程式碼從上面程式碼中可用看出，遍歷從1開始，每迴圈一次就乘以2，當i大於n時迴圈結束。由於2的x次方等於n，x = log2n，這個迴圈的時間複雜度就是O(log2n)。不管是以2為底，還是以3為底，我們都可以把所有對數階的時間複雜度計作：O(logn)。
平方階 O(n²)
for (let i=0;i<n;i++) {
for (let j=o;j<n;j++) {
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟*/
}
}
複製程式碼根據迴圈的時間複雜度等於迴圈體的複雜度乘以該迴圈執行的次數。所以上面程式碼的時間複雜度為O(n²)。
最優演算法
一般情況下，隨著n的增大，T(n) 增長最慢的演算法為最優演算法。
最壞情況
我們查詢一個有n個隨機數字陣列中的某個數字，最好的情況是陣列的第一個數字就是，那麼演算法的時間複雜度為O(1)，但也可能這個數字在最後一位，那麼演算法的時間複雜度就是O(n)，這就是最壞情況了。
最壞情況執行時間是一種保證，那就是執行時間不會再壞了。通常除非特別指定，我們提到的執行時間都是最壞情況的執行時間。
本文摘自極客時間王爭老師的 資料結構與演算法之美
摘自《大話資料結構》