四元數

四元數

定義

【四元數的視覺化】 https://www.bilibili.com/video/BV1SW411y7W1/?share_source=copy_web&vd_source=ac806c24de13bf5f509bf105a8578e24

\[0.00 + 8.46i + 2.64j + 3.38k\\ \]

最左側實數稱為標量部分，右側\(ijk\)虛部稱為向量vector

\[i^2+j^2+k^2=1\\ ij=-ji=k\\ ki=-ik=j\\ jk=-kj=i \]

\[(w_1 + x_1i + y_1j + z_1k)(w_2 + x_2i + y_2j + z_2k)\\ =(w_1w_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2)\\ +(w_1x_2 + x_1w_2 + y_1z_2 - z_1y_2)i\\ +(w_1y_2 + y_1w_2 + z_1x_2 - x_1z_2)j\\ +(w_1z_2 + z_1w_2 + x_1y_2 - y_1x_2)k \]

用四元數來描述矩陣相乘

\[\vec v_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{bmatrix} =(w_1 + x_1i + y_1j + z_1k)\\ q_1=(w_1,\ \vec v_1) \\ \vec v_2=\begin{bmatrix}x_x\\y_x\\z_x\end{bmatrix} =(w_2 + x_2i + y_2j + z_2k)\\ q_2=(w_2,\ \vec v_2) \\ q_1\cdot q_2=(w_1w_2 - \vec v_1\cdot \vec v_2,\ w_1\vec v_2 + w_2\vec v_1 + \vec v_1 \times \vec v_2) \]

\(q_1\cdot q_2 = (\frac{q_1}{\lVert q_1\rVert})\lVert q_1 \rVert\cdot q_2\)

\(q_1\cdot q_2\)會將\(q_2\)的大小拉伸到\(q_1\)的大小（上市括號外的內容），然後施加一個特殊的四維旋轉（上式括號內的內容）

四維超球投影到三維空間，在單位球內的是\([-1,1]^4\)，超出\([-1,1]^4\)的點投影到了單位球外，延申至無窮遠

投影過程可參考二維到一維、三維到二維的球極投影

四元數在三維點上的應用

【四元數和三維轉動，可互動的探索式影片（請看連結）】 https://www.bilibili.com/video/BV1Lt411U7og/?share_source=copy_web&vd_source=ac806c24de13bf5f509bf105a8578e24

當想繞某個軸旋轉某個角度時，首先用一個單位向量（\(ijk\)經過歸一化，三者平方和為\(1\)）定義這個軸，對於三維向量，其實部為\(0\)，\(xyz\)作為\(ijk\)的係數

之後，若想旋轉的角度是\(\theta\)，則使用半形\(\theta/2\)的餘弦值作為實部，正弦值乘以四元數向量

如:\(q=(\cos(40^{\circ}/2)+\sin(40^{\circ}/2)(0.67i-0.67j-0.33k))\)

如果想對一點\(p\)應用這個旋轉，只需\(p'=q\cdot p\cdot q^{-1}\)即可，就能得到旋轉後的座標\(p'\)，\(p'\)是一個四元數，其實部為0，\(ijk\)向量係數即為旋轉後的三維座標

為什麼是\(q\cdotp\cdot q^{-1}而不是q\cdot p\)？

\(q\)的本質是一個空間變換，旋轉變換是其中一環，旋轉*縮放=空間變換

四元數有一個性質是可逆的

那麼(旋轉*縮放)p / 縮放 = 旋轉*p？

然而這樣做是不行的，因為空間變換\(q\)必定包含旋轉和縮放

於是可以用到左右手螺旋定則

\(q\)左乘\(p\)或右乘\(p\)，只會影響旋轉的方向，不會影響縮放的方向

而\(q\cdot p\)和\(q^{-1}\cdot p\)的異同在於二者旋轉一樣縮放相反

於是可以透過\(q\cdot p\cdot q^{-1}\)，左乘\(q\)和右乘\(q^{-1}\)分別完成半個\(\theta\)角度的旋轉，而\(q\)與\(q^{-1}\)又剛好抵消掉了縮放

四元數插值

要在兩個四元數之間進行球面線性插值(Spherical Linear Interpolation), Slerp()。球面線性插值可在球面表面大圓的弧線上做勻速率運動，因此對於旋轉插值有兩個期望的性質

• 旋轉插值路徑使得扭矩最小化：兩個旋轉之間的路徑是旋轉空間中所能得到的最短路徑
• 插值有很頂角速度：動畫引數\(t\)的變化量和所得旋轉的變換了的關係在插值過程中是恆定的，換句話說，在插值範圍內，插值速度是恆定的

\[slerp(q_1, q_2. t)=\frac{q_1\sin((1-t)\theta)+q_2\sin(t\theta)}{\sin\theta}\\ t\in[0,1] \]

Shoemake(1985)提出的公式

\[q_\bot=q_2-(q_1\cdot q_2)q_1 \\ q'=q_1\cos(\theta t)+\hat q_\bot\sin(\theta t) \]

PBRT中的公式

以一種更直觀的方式理解

考慮在2D平面下的兩個單位圓上的向量\(v_0\)和\(v_1\)，二者夾角為\(\theta\)，想要計算二者之間角度為\(\theta'\)的插值向量，可以尋找正交於\(v_0\)的向量\(v_\bot\)，再應用三角恆等式\(v'=v_0\cos\theta'+v_\bot\sin\theta'\)

那麼要計算\(q'\)，首先要在四元數空間種計算一個正交座標系，一個軸為\(q_1\)，另一個是於\(q_1\)正交的四元數\(q_\bot\)，這樣兩軸就構成張開\(q_1\)和\(q_2\)的基

可以透過將\(q_2\)投影到\(q_1\)，再由\(q_2\)減去這一部分得到\(q_\bot\)

\(q_\bot=q_2-(q_1\cdot q_2)q_1\)

那麼插值四元數為\(q'=q_1\cos(\theta t)+\hat q_\bot\sin(\theta t)\)

要注意的點

在插值時應檢查兩個四元數是否幾乎平行

• 二者幾乎平行，則按順序對四元數分量用普通的線性插值以避免數值不穩定

• 否則，按\(q_\bot=q_2-(q_1\cdot q_2)q_1\)

  \(q'=q_1\cos(\theta t)+\hat q_\bot\sin(\theta t)\)

  插值計算四元數