數論學習筆記 (3)：因數與倍數

\(\texttt{godmoo}\text{ }\texttt{の}\text{ }\texttt{數論學習筆記 之}\text{ }\boxed{因數與倍數}\)

定義

• 因數/約數，倍數：若 \(d \mid n\)，則 \(d\) 是 \(n\) 的因數，\(n\) 是 \(d\) 的倍數。

• 公因數/公約數，公倍數：公共的因數/約數、倍數。

• 最大公因(約)數：\(GreatestCommonDivisor(gcd)\)，最大的公因數，規定 \(gcd(0,a)=a\)。

• 最小公倍數：\(LeatestCommonMultiple(lcm)\)，最小的公倍數。

\(eg.\text{ }gcd(24,18)=6,lcm(24,18)=72\)

性質

• 唯一分解定理：任意大於 \(1\) 的整數都可以寫成有限個質數乘積的形式，即：
  \(n=\prod_{i=1}^m p_i^{c_i}\)
• \(gcd\) 和 \(lcm\) 的最值表示法：若有 \(x=\prod_{i=1}^m p_i^{a_i}\)，\(y=\prod_{i=1}^m p_i^{b_i}\)，則有：

\[gcd=\prod_{i=1}^m p_i^{min(a_i,b_i)} \]

\[lcm=\prod_{i=1}^m p_i^{max(a_i,b_i)} \]

正確性：由定義推出。

• \(gcd\) 與 \(lcm\) 的性質：\(x \times y=gcd \times lcm\)

正確性：由 \(gcd\) 和 \(lcm\) 的最值表示法推出。

\(\bold{gcd}\) 求法

• 分解質因數：分解後用 \(gcd\) 的最值表示法，\(O(\sqrt{n})\)
• 歐幾里得演算法：又名輾轉相除法，\(gcd(a,b)=gcd(b,a\text{ }mod\text{ }b)\)

證明：
記 \(g=gcd(a,b)\)
\(\large\text{Part1.}\) 證明是公因數
首先 \(g\) 是 \(a\),\(b\) 的因數；
我們知道，\(a\text{ }mod\text{ }b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor b\) ；
那麼 \(g\) 也是這個式子的因數；
所以 \(g\) 是 \(b\) 和 \(a\text{ }mod \text{ }b\) 的公因數。
\(\large\text{Part2.}\) 證明是最大公因數
假設存在更大的公因數 \(k\)；
則 \(k \mid b\) 且 \(k \mid a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor b\)；
於是 \(k \mid b\) 且 \(k \mid a\)；
此時，\(k\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公因數；
又 \(k \gt g\)，與 \(g=gcd(a,b)\) 矛盾；
所以 \(g=gcd(b,a\text{ }mod\text{ }b)\)。

ll gcd(ll x,ll y){
	if(!y) return x;
	return gcd(y,x%y);
}

也可以寫成：

ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}

• 更相減損術：\(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\)

證明：與輾轉相除法的類似，不證。

• \(\bm{Stein}\) 演算法：

針對大資料時，取模運算的效能會很低，使得輾轉相除法的效率不佳；但更相減損術的效率又不高，每次只能減一此。於是，\(Stein\) 演算法橫空出世，它避免了取模運算，但實測下來，它在大資料下的表現略勝一籌。
思想：\(Stein\) 演算法基於更相減損術，由於計算機是以 \(2\) 進位制儲存的，所以位運算的效率極高，所以考慮用位移運算最佳化更相減損術。
流程：
\(Case\text{ }1:\) 當 \(a,b\) 一奇一偶時，
偶數除以 \(2\)，顯然不影響結果；
\(Case\text{ }2:\) 當 \(a,b\) 都是偶數時，
答案為 \(2\text{ }gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})\)；
\(Case\text{ }3:\) 當 \(a,b\) 都是奇數時，
無法最佳化，直接做更相減損術；
\(【性質】:\text{ }\)\(Case\text{ }3\) 後必為 \(Case\text{ }1\)，效率得到保證。

ll stein(ll x,ll y){
	if(x<y) x^=y,y^=x,x^=y; // swap的黑科技
	if(!y) return x;
	if(!(x&1)&&!(y&1)) return stein(x>>1,y>>1)<<1;
	if(!(x&1)&&(y&1)) return stein(x>>1,y);
	if((x&1)&&!(y&1)) return stein(x,y>>1);
	return stein(y,x-y);
}