三角公式彙總
一、任意角的三角函式
在角 $\alpha$ 的終邊上任取一點 $P(x, y)$ , 記: $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $,
正弦: $\sin \alpha=\frac{y}{r} $ 餘弦: $\cos \alpha=\frac{x}{r} $
正切: $\tan \alpha=\frac{y}{x}$ 餘切: $\cot \alpha=\frac{x}{y}$
二、同角三角函式的基本關係式
倒數關係: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1 $。
商數關係: $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $。
平方關係: $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 $
三、誘導公式
(1) $\alpha+2 k \pi(k \in Z) 、-\alpha 、 \pi+\alpha 、 \pi-\alpha 、 2 \pi-\alpha$ 的三角函式值, 等於 $\alpha$ 的 同名函式值, 前面加上一個把 $\alpha$ 看成銳角時原函式值的符號。(口訣: 函式名 不變, 符號看象限)
(2) $\frac{\pi}{2}+\alpha 、 \frac{\pi}{2}-\alpha 、 \frac{3 \pi}{2}+\alpha 、 \frac{3 \pi}{2}-\alpha$ 的三角函式值, 等於 $\alpha$ 的異名函式值, 前面加上一個把 $\alpha$ 看成銳角時原函式值的符號。(口訣: 函式名改變, 符號看 象限)
四、和差公式
$\begin{array}{ll}\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta & \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta \\\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta & \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta \\\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta} & \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta}\end{array}$
五、二倍角公式
$\begin{array}{l}\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha\\\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha\\\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}\end{array}$
二倍角的餘弦公式有以下常用變形: (規律: 降冪擴角, 升冪縮角)
$\begin{array}{l}1+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha \quad 1-\cos 2 \alpha=2 \sin ^{2} \alpha\\1+\sin 2 \alpha=(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2} \quad 1-\sin 2 \alpha=(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}\\\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \quad \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \quad \sin \alpha \cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{2}\end{array}$
詳細參考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/362443307