三角函式公式

每天卷學習發表於2022-01-15

三角公式彙總

一、任意角的三角函式

  在角    $\alpha$    的終邊上任取一點   $P(x, y)$  , 記:   $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $,
  正弦:   $\sin \alpha=\frac{y}{r}  $    餘弦:   $\cos \alpha=\frac{x}{r} $
  正切:   $\tan \alpha=\frac{y}{x}$   餘切:   $\cot \alpha=\frac{x}{y}$

二、同角三角函式的基本關係式

  倒數關係: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1 $。
  商數關係: $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $。
  平方關係: $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 $

三、誘導公式

  (1) $\alpha+2 k \pi(k \in Z) 、-\alpha 、 \pi+\alpha 、 \pi-\alpha 、 2 \pi-\alpha$ 的三角函式值, 等於 $\alpha$ 的 同名函式值, 前面加上一個把 $\alpha$ 看成銳角時原函式值的符號。(口訣: 函式名 不變, 符號看象限)

  (2) $\frac{\pi}{2}+\alpha 、 \frac{\pi}{2}-\alpha 、 \frac{3 \pi}{2}+\alpha 、 \frac{3 \pi}{2}-\alpha$  的三角函式值, 等於 $\alpha$  的異名函式值, 前面加上一個把 $\alpha$   看成銳角時原函式值的符號。(口訣: 函式名改變, 符號看 象限)

 

四、和差公式

  $\begin{array}{ll}\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta & \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta \\\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta & \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta \\\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta} & \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta}\end{array}$

五、二倍角公式

    $\begin{array}{l}\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha\\\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha\\\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}\end{array}$

  二倍角的餘弦公式有以下常用變形: (規律: 降冪擴角, 升冪縮角)

    $\begin{array}{l}1+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha \quad 1-\cos 2 \alpha=2 \sin ^{2} \alpha\\1+\sin 2 \alpha=(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2} \quad 1-\sin 2 \alpha=(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}\\\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \quad \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \quad \sin \alpha \cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{2}\end{array}$

 

詳細參考:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/362443307

 

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