三角函式：基礎知識&&Omega範圍問題
說是高考熱門，其實也沒怎麼考過（
我們知道，高中主要研究的三個三角函式的一般形式分別為:
-
\(A\sin(\omega x+\varphi)+h\)，
-
\(A\cos(\omega x+\varphi)+h\)，
-
\(A\tan(\omega x+\varphi)+h\)。
\(h\)由於作用太low啦作用不大，高中一般不予討論，所以我們可以認為三角函式的一般形式就是\(Af(\omega x+\varphi),f(x)\in \{{\sin x,\cos x,\tan x}\}\)。其中考的最多的引數就是這個\(\omega\)，因為它決定了三角函式圖象的“收縮程度”，導致三角函式的各項指標都跟它有關，所以都可以考（
今天，我們研究\(\omega\)對幾類基礎函式指標的影響及其一般出的題目。
如無特別說明，本文“一般三角函式”指的是上面的一般形式，而“標準三角函式”則是\(\sin x\)這種最簡潔優美的形式。
Basic Knowledge
- 三角函式的性質，如果
太難打\(\KaTeX\)情況太複雜，預設設\(\omega=1,\varphi=0,A=1\)。
| 函式 | \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\tan x\) |
|---|---|---|---|
| 定義域 | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\{x|x\not= \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\}\) |
| 值域 | \([-A,A]\) | \([-A,A]\) | \(\mathbb{R}\) |
| 奇偶性 | 奇函式 | 偶函式 | 奇函式 |
| 週期 | \(\frac{2\pi}{\omega}\) | \(\frac{2\pi}{\omega}\) | \(\frac{\pi}{\omega}\) |
| 單調增區間 | \([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi](k\in \mathbb{Z})\) | \([\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi](k\in \mathbb{Z})\) | \([-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi](k\in \mathbb{Z})\) |
| 單調減區間 | \([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi](k\in \mathbb{Z})\) | \([0+2k\pi,\pi+2k\pi](k\in \mathbb{Z})\) | null |
| 對稱軸 | \(\{x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\) | \(\{x=0+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\) | null |
| 對稱中心 | \((0+k\pi,0),k\in \mathbb{Z}\) | \((\frac{\pi}{2}+k\pi,0),k\in\mathbb{Z}\) | \((0+\frac{k\pi}{2},0),k\in \mathbb{Z}\) |
- 研究三角函式的一般方法：
對於中間的\(\omega x+\varphi\)，我們令\(t=\omega x+\varphi\)，這樣原解析式就變成了\(f(t)=A\sin t\)，除值域與\(\tan x\)的定義域以外，其餘的指標都可以直接套表了。我們接下來研究\(\omega\)的影響也基本依靠這種方法。
-
同角三角函式的基本關係：
-
\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)
-
\(\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)
-
-
誘導公式：奇變偶不變，符號看象限，具體如下表：
| 函式 | \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\tan x\) |
|---|---|---|---|
| 公式一（週期關係） | \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) | \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) | \(\tan(x+\pi)=\tan x\) |
| 公式二 | \(\sin(x+\pi)=-\sin x\) | \(\cos(x+\pi)=\cos x\) | \(\tan(x+\pi)=\tan x\) |
| 公式三 | \(\sin(-x)=-\sin x\) | \(\cos(-x)=\cos x\) | \(\tan(-x)=-\tan x\) |
| 公式四 | \(\sin(\pi-x)=\sin x\) | \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) | \(\tan(\pi-x)=-\tan x\) |
| 公式五 | \(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x\) | \(\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x\) | null |
| 公式六 | \(\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos x\) | \(\cos(x+\frac{\pi}{2})=-\sin x\) | null |
- 和差角公式，二倍角公式
| 函式 | \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\tan x\) |
|---|---|---|---|
| \(\alpha+\beta\) | \(\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) | \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\) | \(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\) |
| \(\alpha-\beta\) | \(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\) | \(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\) | \(\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\) |
| \(2\alpha\) | \(2\sin\alpha\cos\alpha\) | \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) | \(\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\) |
-
輔助角公式：\(A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin(x+\varphi),\tan \varphi=\frac{B}{A}\)
-
積化和差、和差化積：沒怎麼用的二級結論，不打\(\KaTeX\)了。\(\KaTeX\)好麻煩嗚嗚嗚（
單調性
給定一個區間\((l,r)或[l,r]\)，又給定一個含三角函式的函式\(f(x)\)，並給出在這個區間上的單調性，求\(\omega\)的範圍。
如果本來就是一個一般式的三角函式該多好，碰到這種情況就可以往下走了，如果不是，想想能不能用輔助角公式湊，湊不出就下一題吧。
我們想到：對於標準三角函式的單調區間，我們較為熟悉，但是帶上\(\omega x+\varphi\)，很多人都搞不坨清，那就考慮換元成\(f(t)=A\sin t,t(x)=\omega x+\varphi\)，就可透過\(t\)計算區間了。
一般地，題目給定的區間一定是三角函式單調區間的子集。也就是說，給定區間的最大值點一定小於等於三角函式的最大值點，給定區間的最小值點一定大於等於三角函式的最小值點。可以獲得\(\omega\)的方程或不等式。
注意本文四種問題都要注意取等問題，給定的是開區間，可能邊界值\(\omega\)就可以取到，建議畫圖來判斷。
對稱性
給定一個區間\((l,r)或[l,r]\)，又給定一個含三角函式的函式\(f(x)\)，並給出在這個區間內過了多少個對稱中心或對稱軸，求\(\omega\)的範圍。
首先還是換元成\(t\)，注意\(t\)的範圍要根據\(x\)的確定下來。
然後，我們在草稿紙上畫一個標準三角函式影像，將\(t\)的範圍畫在上面，然後挪動動的那一邊（為什麼？那是\(\omega\)的影響範圍啊！），能動的範圍一般就是
-
兩相鄰對稱軸
-
兩相鄰對稱中心
-
對稱軸與相鄰對稱中心
透過這兩個地點的座標，我們就可以擼出個\(\omega\)的不等式（範圍），結果我一看，哦，還有一個待定的\(k\)，什麼\(k\)？\(2k\pi\)的\(k\)。不要慌啊，既然\(left<...\omega...<right\)，肯定有\(left<right\)，就可以把\(k\)的範圍搞出來，然後題目裡一般有\(\omega>0\)，根據這個確定最小的\(k\)，一般取整嘛，都可以確定的，然後回代，\(\omega\)的範圍就搞定了。
最值
給定一個區間\((l,r)或[l,r]\)，又給定一個含三角函式的函式\(f(x)\)，並給出在這個區間上的最值，求\(\omega\)的範圍。
一般只給\(\omega x\)，所以我不換元也搞出來正解了。\(l\)和\(r\)總有一個函式值更小，拿小的去列不等式，如果\(\omega>0\)沒寫，那麼用另一個數再列一個不等式，可以解出\(\omega<0\)的情況。
零點
這個做法跟對稱性部分沒有什麼區別，用零點的概念去套對稱性的過程就搞定了。